Conjunto Bernstein: un subconjunto de la línea real que se encuentra con cada subconjunto cerrado incontable de la línea real, pero que no contiene ninguno de ellos. Es de wiki.
Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo construir un conjunto de Bernstein? ¿Y cuál es su aplicación en matemáticas?
Gracias de antemano por cualquier ayuda :)
Uno usa el axioma de elección en alguna forma a la construcción de un conjunto de Bernstein. La forma más sencilla es mediante la recursión transfinita. Hay $2^\omega$ innumerables cerrado subconjuntos de a $\Bbb R$, por lo que podemos enumerar como $\{F_\xi:\xi<2^\omega\}$, y se puede demostrar que cada uno de ellos tiene cardinalidad $2^\omega$.
Ahora supongamos que $\eta<2^\omega$, y para cada una de las $\xi<\eta$ ha elegido los puntos de $x_\xi,y_\xi\in F_\xi$, de modo que todos estos puntos son distintos. Deje $X_\eta=\{x_\xi:\xi<\eta\}$$Y_\eta=\{y_\xi:\xi<\eta\}$. A continuación,$|X_\eta\cup Y_\eta|<2^\omega$, lo $F_\eta\setminus(X_\eta\cup Y_\eta)$ es infinito, y podemos elegir distintos $x_\eta,y_\eta\in F_\eta\setminus(X_\eta\cup Y_\eta)$ a continuar con la construcción.
Ahora vamos a $X=\bigcup_{\xi<2^\omega}X_\xi$$Y=\bigcup_{\xi<2^\omega}Y_\xi$; por la construcción de $X$ $Y$ son distintos conjuntos de reunión de cada una de las innumerables subconjunto cerrado de $\Bbb R$, por lo que ambos son Bernstein conjuntos.
Añadido: En mi experiencia son las más útiles como una herramienta para la construcción (contador)ejemplos. Este post en Dan Ma de Topología del Blog es un buen ejemplo de este uso.
Observe que la construcción habitual de los Bernstein también puede producir $\mathfrak c$ discontinuo Bernstein pone en una arbitraria innumerables polaco espacio de trabajo en diagonal, de manera similar a cómo se construye un bijection entre el$\mathbf N$$\mathbf N^2$: se toma un punto desde el primer conjunto cerrado en el primer conjunto de Bernstein, dos puntos en lo que queda de la segunda conjunto cerrado a los dos primeros Bernstein establece etc, lo que resulta en una secuencia de distjoint conjuntos, cada uno de los cuales se cruza con todos, pero posiblemente algunos $\kappa<\mathfrak c$ innumerables conjuntos cerrados. Luego te das cuenta de que todo (innumerables) conjunto cerrado que contiene a $\mathfrak c$ otros (innumerables) cerrado subconjuntos, cada uno de los que realmente se cruza con TODAS las innumerables conjuntos cerrados.
En muchas maneras, Bernstein conjuntos son "como patológicas como sea posible" para un subconjunto de un espacio polaco, y, como tales, son a menudo una buena fuente de ejemplos de un comportamiento patológico.
Bernstein conjuntos son no sólo no medible (y sumamente así: el exterior de la medida de un conjunto de Bernstein con respecto a una medida de Borel es completa, mientras que el interior es cero!!!), pero tampoco tienen la propiedad de Baire.
También son muy interesantes como topológica de la medida de los espacios. Cada subconjunto compacto de la Bernstein conjunto es contable, por lo que es imposible definir una (no trivial) continua de medida de Radón en Bernstein conjunto, lo que las hace una especie de frente de polaco espacios, en un espacio polaco, cualquier finito medida de Borel es el Radón.
Esta es exactamente la Proposición 3.1 en el Manual de la Teoría de juegos, el Volumen 1, Capítulo 3, Jan Mycielski.
Hay una rentabilidad conjunto tal que la Gale-Stewart juego no está determinado.
Prueba: Supongamos que la rentabilidad será el conjunto de Bernstein. Dado un arbitrarias de la estrategia, el conjunto de todos los posibles resultados generados por el no es un conjunto perfecto(véase Brian M. Scott respuesta), así que para cualquier estrategia de un jugador, hay par de rival estrategias que generar dos resultados que están en la rentabilidad conjunto y su complemento, respectivamente.
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