Demostrar que si $ R $ es que un dominio integral entonces un polinomio de grado $ R[X] $ $ d $ puede tener a más $ d $ raíces

Question

Muestran que si $ R $ es que un dominio integral entonces un polinomio de grado $ R[X] $ $ d $ puede tener a más $ d $ raíces.

Pensamientos hasta ahora:

Me siento como que podría ser falta algo aquí. Si $ R $ es un dominio integral, entonces así es $ R[X] $. El teorema del factor da una correspondencia entre las raíces y factores. Claramente (¿es esto claro?) un polinomio de grado $ d $ no puede tener más de $ d $ factores irreducibles.

Answer 1

Es sólo ligeramente claro; tienes que demostrar que, cuando $R$ (y por lo tanto, $R[x]$) es un dominio integral, la función de grado de hecho satisfacer $$\text{deg}(fg)=\text{deg}(f)+\text{deg}(g).$ $ entonces se puede argumentar que (por el teorema del factor), $a_1,\ldots,a_n$ hubiera raíces de $f$, entonces el $f=(x-a_1)\cdots(x-a_n)g$ $g\in R[x]$, que $\deg(f)=n+\deg(g)$ y $\deg(g)\geq0$, por lo tanto, $\deg(f)\geq n$.

Cuando $R$ no es un dominio integral, tengamos $\text{deg}(fg)

Answer 2

Nota: $\rm\ a_i\ne a_j\ \Rightarrow\ x-a_i\ $ son nonassocate de los números primos en $\rm\:R[x],\:$ desde $\rm\: R[x]/(x-a) \cong R\:$ es un dominio.

Por lo tanto, $\rm\ \ x-a_1\ |\ f(x),\ \ldots\:,\: x-a_n\ |\ f(x)\ \ \Rightarrow\ \ (x-a_1)\cdots (x-a_n)\ |\ f(x) $

desde LCM = producto para nonassociate de los números primos. Pero esto es contra grado si $\rm\ n > deg\ f\:.$

Comentario $\ $ , De hecho, un anillo de $\rm\: D\:$ es un dominio de $\iff$ cada polinomio distinto de cero $\rm\ f(x)\in D[x]\ $ tiene más de $\rm\ deg\ f\ $ raíces en $\rm\:D\:.\:$ Para la prueba simple de ver mi post aquí, donde me ilustrar de manera constructiva en $\rm\: \mathbb Z/m\: $ demostrando que, $\:$ cualquier $\rm\:f(x)\:$ con más raíces de su grado,$\:$ podemos calcular un factor no trivial de de $\rm\:m\:$ a través de una $\rm\:gcd\:$. El cuadrática caso de este resultado está en el corazón de muchos entero de la factorización de algoritmos que intentan factor de $\rm\:m\:$ por la búsqueda de un trivial de la raíz cuadrada de $\rm\: \mathbb Z/m\:,\:$ por ejemplo, una raíz cuadrada de $1$ que no es $\:\pm 1$.