Secuencia acotada no convergente con respecto a un ultrafiltro

Question

Dejemos que $\mathfrak{U}$ sea un ultrafiltro en $\mathbb{N}$ y $(x_n)$ sea una secuencia real. Decimos que $(x_n)$ es:

• acotado con respecto a $\mathfrak{U}$ si existe $M>0$ tal que $\{n \mid |x_n|<M\} \in \mathfrak{U}$ .

• convergente a $x$ con respecto a $\mathfrak{U}$ , si $\{n \mid |x_n-x|<\epsilon\} \in \mathfrak{U}$ para todos $\epsilon>0$ .

¿Hay un ultrafiltro no principal $\mathfrak{U}$ y una secuencia $(x_n)$ tal que $(x_n)$ está acotada pero no es convergente con respecto a $\mathfrak{U}$ ?

Probablemente exista, pero cualquier ejemplo de secuencia acotada con respecto a un ultrafiltro que se me ocurra resulta ser convergente...

Answer 1

No existe tal ultrafiltro. Esto es una consecuencia de la compacidad de los subconjuntos cerrados y acotados de $\Bbb R$ .

Dejemos que $\mathscr{U}$ sea un ultrafiltro no principal en $\Bbb N$ y $\sigma=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ una secuencia en $\Bbb R$ es decir $\mathscr{U}$ -y que $M\in\Bbb R$ sea tal que $\{n\in\Bbb N:|x_n|\le M\}\in\mathscr{U}$ . Si $|x|>M$ , dejemos que $\epsilon=|x|-M$ Entonces

$$\{n\in\Bbb N:|x_n-x|<\epsilon\}\subseteq\{n\in\Bbb N:|x_n|>M\}\notin\mathscr{U}\;,$$

así que $\sigma$ claramente no puede converger a $x$ con respecto a $\mathscr{U}$ . Así, cualquier posible $\mathscr{U}$ -límite de $\sigma$ debe estar en el intervalo cerrado $[-M,M]$ .

Supongamos que $\sigma$ no es $\mathscr{U}$ -convergente. Entonces, para cada $x\in[-M,M]$ hay un $\epsilon_x>0$ tal que $\{n\in\Bbb N:|x_n-x|<\epsilon_x\}\notin\mathscr{U}$ . Para cada $x\in[-M,M]$ dejar $B_x=(x-\epsilon_x,x+\epsilon_x)$ Entonces $\{B_x:x\in[-M,M]\}$ es una cubierta abierta del intervalo compacto $[-M,M]$ , por lo que existe un número finito de $F\subseteq[-M,M]$ tal que $$[-M,M]\subseteq\bigcup_{x\in F}B_x\;.$$

Para cada $x\in F$ dejar $N_x=\{n\in\Bbb N:x_n\in B_x\}$ por la construcción $N_x\notin\mathscr{U}$ . Dejemos que $N=\bigcup_{x\in F}N_x$ ; $F$ es finito, por lo que $N\notin\mathscr{U}$ . Pero $\{n\in\Bbb N:|x_n|>M\}\notin\mathscr{U}$ también, así que

$$\Bbb N=N\cup\{n\in\Bbb N:|x_n|>M\}\notin\mathscr{U}\;,$$

lo cual es absurdo. Así, $\sigma$ debe $\mathscr{U}$ -convertir a algunos $x\in[-M,M]$ .

Añadido: Por cierto, este es un ejemplo de un resultado más general. Sea $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff, sea $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia en $X$ y que $\mathscr{U}$ sea cualquier ultrafiltro en $\Bbb N$ entonces hay un (único) $x\in X$ tal que para cada nbhd $V$ de $x$ , $\{n\in\Bbb N:x_n\in V\}\in\mathscr{U}$ . Este $x$ se llama $\mathscr{U}$ -de la secuencia. (Tenga en cuenta que si $\mathscr{U}$ es el principal ultrafiltro en $m\in\Bbb N$ entonces el $\mathscr{U}$ -límite de $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es simplemente $x_m$ .)

Answer 2

Dejemos que $U$ sea un ultrafiltro fijo. Si $x_n$ está acotado (con respecto a $U$ ), entonces $x_n$ es convergente (con respecto a $U$ ).

Si se sabe que los límites generalizados siempre existen en los espacios compactos, se puede razonar como sigue. Dado que $x_n$ está acotado (wrt $U$ ), puede modificar $x_n$ en para $n \in I$ , $I \not \in U$ para que la secuencia resultante, digamos $x'_n$ está acotado (sin cuantificación adicional). Es sencillo ver que $x_n$ es convergente si $x_n'$ es convergente. Y $x_n'$ es convergente, porque es una secuencia con elementos en el espacio compacto $[-M,M]$ y converge a $U\!-\!\lim_n x'_n$ su límite generalizado.

Para convencerse de que el límite generalizado existe, se puede proceder como sigue. Comience con un conjunto $I_0 \in U$ tal que para $n \in I$ tienes $x_n \in A_0 := [-M,M]$ . A continuación, una vez que tenga $I_k$ y $A_k$ definido, dividido $A_k = B \cup B'$ , donde $B,B'$ son mitades del intervalo $A_k$ . Dejemos que $J = \{n \ | \ x_n \in B \}$ y $J'$ análogamente. O bien $J$ o $J'$ está en $U$ Así que toma el que va a ser $I_{k+1}$ y tomar $A_{k+1} = B$ o $B'$ en consecuencia. Ahora, puede demostrar sin mucho trabajo que $x_n$ converge al único punto en $\bigcap_k A_k$ sin demasiados problemas.

Para más detalles (definiciones precisas, teoremas) véase Hindman-Strauss especialmente la sección 3.5.