límites de la superficie de revolución en coordenadas polares.

Question

Mi Pregunta es Hallar el área de la superficie generada al girar la mano derecha de bucle de la lemniscate $\;r^2=\cos2\theta\;$ sobre la línea vertical que pasa por el origen (y-axis). Sé que la fórmula

$$S=2\pi \int_\alpha^\beta r \cos\theta\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$$ Pero no puedo averiguar los límites de $\alpha$$\beta$. en coordenadas Cartesianas coordinar puedo imaginar fácilmente una función del segmento de a a b y de imaginar de rotación alrededor de su eje, pero En polar realmente estoy teniendo dificultad en la captura de los límites y de la imagen de un segmento de línea, a continuación, girar el segmento alrededor del eje.Yo solo puedo el de la imagen en mi mente. alguna ayuda? gracias de antemano.

Answer 1

Para generar el bucle derecho el lemniscate $r^2=\cos(2\theta)$, necesita dejar que $\theta$ variar en $-\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{4}$; es decir, $\theta \in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}] $. Para ver esto, tenemos

$$ r = \bar{+} \sqrt{\cos(2 \theta) } \implies \cos(2\theta)\geq 0 \implies -\frac{\pi}{2}\leq2\theta \leq \frac{\pi}{2}\implies -\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}. $$

Aquí está la trama de la

Aquí está el gráfico completo

Answer 2

Esa rama de la lemniscate es generada por el ajuste $\alpha = -\pi/4$ y $\beta = \pi/4$. Usted puede ver esto siguiendo la curva de $\theta=0$ $r=1$ donde $r=0$ $\theta=\pi/4$, y darse cuenta de la simetría sobre el eje de $x$.

Resulta que la integral funciona muy bien, aunque como no han pedido ayuda en evaluación, se lo dejo a ver cómo funciona hacia fuera.