Averiguar cuando $(x + y)^5 = x^5 + y^5$ (Spivak ' s libro del cálculo)

Question

Sé que se puede ver que este partido con $y = 0$, $x = 0$ y $y = -x$.

Sin embargo, el autor del libro dice:

"Sugerencia: a partir De la suposición de $(x + y)^5 = x^5 + y^5$ usted debe ser capaz de derivar la ecuación de $x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3 = 0$ si $xy \neq 0$. Esto implica que $(x + y)^3 = x^2y + y^2x = xy(x + y)$"

Entonces, me doy cuenta de que $(x + y)^3 - xy(x + y) = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$.

Es por eso que si $(x + y)^3 - xy(x + y) = 0$$(x + y)^3 = xy(x + y)$.

Entonces, hice lo mismo con $(x + y)^5$

$x^5 + 5x^4y +9x^3y^2 + 9x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 = 0$ si $xy \neq 0$

A continuación, $(x + y)^5 - x^2y^2(x + y) = 0$

$(x + y)^5 = x^2y^2(x + y)$ , Entonces puedo demostrar que su verdadero al $y = -x$

Pero yo todavía no lo entiendo ¿por qué tengo que hizo esto y lo que el autor quiere que me diga como hacer esto.

Answer 1

Sugerencia: a partir De la suposición de $(x + y)⁵ = x⁵ + y⁵$ usted debe ser capaz de derivar la ecuación de $x³ + 2x²y + 2xy² + y³ = 0$ si $xy \neq 0$.

Utilizando el binomio de expansión:

$$\requieren{cancel} \begin{align} (x+y)^5=x^5+y^5 \;\;&\iff\;\; \cancel{x^5} + 5x^4y +10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + \bcancel{y^5} = \cancel{x^5}+\bcancel{y^5} \\ &\iff\;\; 5xy\,(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3) = 0 \end{align} $$

Suponiendo que $\,xy\ne 0\,$, esto implica $\,x^3+2x^2y+2xy^2+y^3 = 0\,$

Pero yo todavía no lo entiendo [...] lo que el autor quiere que me diga de hacer esto

Tenga en cuenta que $\,x^3+2x^2y+2xy^2+y^3 = (x + y) (x^2 + x y + y^2)\,$, y el único (real) de ceros producirse por $\,x+y=0\,$ ya que el factor cuadrático es siempre estrictamente positivo si $\,xy \ne 0\,$.