Otra prueba de congruencia

Question

Me han preguntado para intentar una prueba de la siguiente congruencia. Se encuentra en una sección de mi libro de texto pequeño Teorema de Fermat y Teorema de Wilson. Yo he reflexionado sobre el problema durante un tiempo y nada interesante se me ha ocurrido.

$1^23^2\cdot\cdot\cdot(p-4)^2(p-2)^2\equiv (-1)^{(p+1)/2} (\text{mod} p)$

Answer 1

Sugerencia: para $p=11$:

$$\begin{align} 10!&=(1\cdot10)(2\cdot9)(3\cdot8)(4\cdot7)(5\cdot6)\ &=\Big(1\cdot(-1)\Big)\Big(-9\cdot9\Big)\Big(3\cdot(-3)\Big)\Big(-7\cdot7\Big)\Big(5\cdot(-5)\Big)\ &=(-1^2)(-9^2)(-3^2)(-7^2)(-5^2)\ &=(-1)^5\cdot1^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2\cdot9^2 \end{align} $$

Answer 2

Aquí $p$ debe ser impar el primer.

Hay dos casos a considerar, $p\equiv 1 \pmod 4$$p\equiv 3 \pmod{4}$. Estamos de acuerdo con el primer caso.

Sabemos que $(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$. Reorganizar los números de$1$$p-1$, de manera que obtenemos los números impares de $1$ ir arriba, intercalados con los números de $p-1$ va hacia abajo. Por ejemplo, si $p=13$, podemos organizar los números de $1$ $12$en el orden $1$, $12$, $3$, $10$, $5$, $8$, $7$, $6$, $9$, $4$, $11$, $2$.

En general la lista es $1$, $p-2$, $3$, $p-3$, $5$, $p-5$, y así sucesivamente hasta que al final llegamos a $p-2$, seguido por $p-(p-2)$. Ahora toma el producto, en ese orden, señalando que $p-k\equiv -k \pmod{p}$.

Tenemos que $$(p-1)!\equiv (1)(-1)(3)(-3)(5)(-5)\cdots (p-2)(-(p-2))\equiv -1\pmod{p}.\tag{$1$}$$ El número de incluso numeradas entradas en el producto es $(p-1)/2$. Estos tienen menos señales delante de ellos. Reunir a los signos menos juntos. Tenemos $$(-1)^{(p-1)/2} 1^23^25^2\cdots (p-2)^2 \equiv -1\pmod{p}.$$ Tenga en cuenta que $(p-1)/2$ es incluso. Así que tenemos que
$$1^23^25^2\cdots (p-2)^2 \equiv -1\pmod{p}.$$ Ahora hemos terminado, ya $-1=(-)^{(p+1)/2}$.

El argumento de $p\equiv 3\pmod{4}$ es esencialmente el mismo. De hecho, los dos argumentos podrían ser reunidos en uno solo. La principal diferencia es que en el $(1)$, el número de signos menos, que es $(p-1)/2$, ahora resulta que para ser impar. Así, obtenemos $$-1^23^25^2\cdots (p-2)^2 \equiv -1\pmod{p}.$$ o, equivalentemente, $$1^23^25^2\cdots (p-2)^2 \equiv 1\pmod{p}.$$ Ya que en este caso tenemos a $(-1){(p+1)/2}=1$, más el resultado de la siguiente manera.

Comentario: lo anterior demuestra la utilidad resultado que si $p\equiv 1\pmod{4}$, entonces no es un $x$ tal que $x^2\equiv -1\pmod{p}$. De hecho, se da una expresión explícita para tal $x$. Lamentablemente, la expresión no es computacionalmente muy útil si $p$ es grande.

Answer 3

Para probar: $1^2.2^2.3^2....(p-1)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod p$

Sabemos que
$$k \equiv -(p-k) \pmod p$ $ Aplicando esto repetidas veces obtendremos el teorema de $$2.4.6.......(p-1) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} 1.3.5.......(p-2) \pmod p$ $ $$\implies 1.3.5.......(p-2) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} 2.4.6.......(p-1) \pmod p$ $ $$\implies 1^2.3^2.5^2.......(p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} 1.2.3.4.5.6.......(p-1) \pmod p$ $ $$\implies 1^2.3^2.5^2.......(p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} (p-1)! \pmod p$ $ por Wilson $$\implies 1^2.3^2.5^2.......(p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} (-1) \pmod p$ $ $$\implies 1^2.3^2.5^2.......(p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod p$ $

Answer 4

Una idea que, quizás, que además de las ya mencionadas: $$1^23^2\cdot\ldots\cdot (p-1)^2=\frac{\left(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot (p-1)\right)^2}{\left(2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (p-1)\right)^2}\,\,()$$Now we use Wilson's theorem, Fermat's Little Theorem and arithmetic modulo $p $: $% $ $()\,\,=\frac{(-1)^2}{\left(2^{\frac{p-1}{2}}\right)^2\left(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot\frac{p-1}{2}\right)^2}=\frac{1}{1\cdot\left(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot\frac{p-1}{2}\right)^2} \,\,\,(***)$

Ahora comprobemos más cerca Teorema de Wilson (una vez más, la aritmética modulo $p$):$$-1=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot\frac{p-1}{2}\cdot\frac{p+1}{2}\cdot\ldots\cdot (p-1)=$$$$=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot\frac {p-1} {2} \left(-\frac{p-1}{2}\right)\cdot\ldots\cdots ()(-1)-2 = $$$$=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}\left(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot\frac{p-1}{2}\right)^2$$So: $$(1)\,\,p=3\pmod 4\Longrightarrow \frac{p-1}{2}\text{ is odd}\Longrightarrow (-1)^\frac{p-1}{2}=-1\Longrightarrow $$$$ \Longrightarrow\,\, () = 1 $$$ $(2)\,\,p=1\pmod 4\Longrightarrow \frac{p-1}{2}\text {is even}\,\Longrightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}}=1\Longrightarrow$$$$\Longrightarrow () 1 = $$