Supongamos que $\phi$ es la función φ de Euler y $\sigma$ suma de divisor. ¿Es cierto para cada natural $\phi(n) + \sigma(n) \geq 2n$ $n$?
He comprobado manualmente la desigualdad para todos los números entre $1$y $20$ - y se lleva a cabo en ellos. No sé, sin embargo demostrar este hecho en general.
Además, no es difícil ver que % primer $p$, $\phi(n) + \sigma(n) = 2n$. Esto significa que si existe un contraejemplo, debe ser compuesto.
Cualquier ayuda será apreciada.
Que $n = p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$.
$\dfrac{\phi(n)}{n} = \prod_{i=1}^{r} (\dfrac{p_i-1}{p_i})$
$\dfrac{\sigma(n)}{n} = \prod_{i=1}^{r} \Bigg(\dfrac{p_i-\dfrac{1}{p_i^{\alpha_i}}}{pi-1} \Bigg) \geq \prod{i=1}^{r} \Bigg(\dfrac{p_i-\dfrac{1}{p_i}}{pi-1} \Bigg) = \prod{i=1}^{r} \bigg(\dfrac{p_i +1 }{p_i} \bigg)$
Así, $\dfrac{\phi(n)}{n} + \dfrac{\sigma(n)}{n} \geq \prod_{i=1}^{r} (\dfrac{p_i-1}{pi}) + \prod{i=1}^{r} \bigg(\dfrac{p_i +1 }{pi} \bigg) = \dfrac{\prod{i=1}^{r}(pi + 1) + \prod{i=1}^{r} (pi -1)}{\prod{i=1}^{r} pi} \geq \dfrac{2.\prod{i=1}^{r} pi }{\prod{i=1}^{r} p_i} = 2$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
