¿Cómo encontrar el mínimo de la expresión?

Question

Que $a$, $b$, $c$ ser tres signos reales positivos $a^2 + b^2 + c^2 =3$. Encontrar el mínimo de la expresión %#% $ de #% he intentado $$P = \dfrac{a^2}{b + 2c} +\dfrac{b^2}{c + 2a}+ \dfrac{c^2}{a + 2b}.$ $ o $$\dfrac{a^2}{b + 2c} +\dfrac{b^2}{c + 2a}+ \dfrac{c^2}{a + 2b} \geqslant \dfrac{(a + b+c)^2}{3(a + b + c)}$ $

Answer 1

$P\geq \frac{9}{a^2(b+2c)+b^2(c+2a)+c^2(a+2b)}$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. $a^2b+b^2c+ac^2\leq\sqrt{3(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}$ y $2(a^2c+ab^2+bc^2)\leq 2\sqrt{3(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}$, otra vez por la desigualdad de Cauchy-Schwarz y $P\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}}$. Desigualdad aritmética-geométrica da $(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=3$, así que finalmente $P\geq 1$.