Bueno, esta pregunta puede parecer una tontería al principio, pero voy a dejar claro mi punto de vista. Supongamos que $n \in \Bbb N$ y supongamos $a \in \Bbb R$ es un número cualquiera. Entonces la definición de $a^n$ está claro para cualquier $a$ elegimos. De hecho, lo definimos:
$$a^n = \prod_{k=1}^na$$
E incluso si $a$ es negativo esto tiene un significado. Entonces ampliamos la definición para $n \in \Bbb Z$ y para $n \in \Bbb Q$ . Cuando vamos a definir a $n \in\Bbb R$ lo definimos como:
$$a^x=e^{x\ln a}$$
Eso está bien, pero $\ln $ es una función definida en $\Bbb R^+$ por lo que si intentamos calcular $(-5)^\pi$ nos meteremos en problemas porque esto sería:
$$(-5)^{\pi}=e^{\pi \ln(-5)}$$
Pero $\ln (-5)$ es indefinido. En ese caso, la función que $f : A \subset \Bbb R^2 \to \Bbb R$ dado por $f(a,x) = a^x$ sería indefinido si $a < 0$ para que $A = \Bbb R^+ \times \Bbb R$ . Lo que pensé fue: podemos ampliar esta función cuando $a$ es negativo y $x$ es racional. En ese caso lo ajustaríamos a la antigua definición de exponenciación, ya que tendríamos un real elevado a un racional.
Entonces, ¿para base negativa y exponente irracional la exponencial queda indefinida?
Muchas gracias de antemano.
