Razona si es cierto que:

Question

Estoy trabajando en unos ejemplos donde mi autor dice que esto es cierto si $h$ es continua. ¿Puede alguien explicarme por qué? Porque la integral es $0$ no significa que el integrando es cero también.

$\int_{a}^b h^2=0\implies h=0$?

Answer 1

Si $h$ es una función continua, valor real y adquiere un valor distinto de cero en el intervalo $[a,b],$ entonces no hay un intervalo $(c,d)\subset[a,b]$ en que $h$ es distinto de cero, por lo $h^2$ es positiva. En particular, eligiendo el intervalo de $(c,d)$ con un poco de cuidado, podemos demostrar que hay un $K>0$ tal que $h^2>K$ $(c,d),$ que $$0

Answer 2

Suponiendo que $h$ es real, supongo que el $h(x_0) \neq 0$ $x_0 \in (a,b)$. Entonces $h^2(x) > 0$. Pero si $h^2$ integra a cero y $h^2(x)$ es positiva en algún lugar y continuos, entonces debemos tener $h^2(x)