Este problema viene de la restricción problema en CoV. (el de lagrange-multiplicador caso)
Deje $\Omega\subset \mathbb R^N$ ser abierto acotado, suave límite. Definimos la sub-colector de $$ M:=\{u\in H_0^1(\Omega),\,\,\int_\Omega g(x,u,\nabla u)dx\equiv 0\} $$ donde$g(x,u,\xi)$,$\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^N\to \mathbb R$$C^2$.
Se denota $$ g_u(x,u,\xi):=\frac{d}{du}g(x,u,\xi) $$ y $$ g_\xi(x,u,\xi):=\nabla_\xi g(x,u,\xi) $$
Quiero concluir que el conjunto de $M$ $C^1$- submanifold de modo que yo podría aplicar el multiplicador de Lagrange de la regla. El libro, por Struwe, página 15, con una rápida pero no está claro para demostrar un ejemplo muy concreto, pero yo quiero probar una versión general.
Aquí es lo que he intentado y donde me quedé atrapado.
Primero de todo, si tanto $g_u(x,u,\nabla u)$ $g_\xi(x,u,\nabla u)$ son una.e. $0$ $\Omega$ , entonces hemos establecido $M$ todo $H_0^1(\Omega)$ y no es interesante.
Ahora, suponga uno de $g_u(x,u,\nabla u)$ o $g_\xi(x,u,\nabla u)$ no es un.e. $0$ $\Omega$ , entonces quiero a la conclusión de que por cada $u\in M$, he $$\int_\Omega g_u(x,u,\nabla u)\cdot u\,dx+\int_\Omega g_\xi(x,u,\nabla u)\cdot\nabla u \,dx\neq 0 \tag 1$$
Me quedé atrapado en demostrar a $(1)$... he intentado de la contradicción, pero no funciona... por favor me ayude sobre este.
Por último, el libro afirma que si $(1)$ espera, entonces el conjunto $M$ $C^1$- submanifold de $H_0^1(\Omega)$ por el teorema de la función implícita. Yo sé lo que está implícito teorema de la función pero no la puedo dejar de ver cómo hemos aplicado aquí... por Favor me proporcionó algunos detalles. Gracias!
