Deje $A$ $B$ ser Hausdorff espacios topológicos, con $A$ compacta generado (es decir, un subconjunto de a $A$ está abierto iff su intersección con cada subconjunto compacto $K$ $A$ está abierto en $K$; a partir de la 2ª edición de Munkres, la Topología, p. 283).
Si la función $f:A \times B \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en a $K \times B$ para cada subconjunto compacto $K$ $A$ $f$ necesariamente continua en todo su dominio? (Conjuntos de productos, dado el producto de la topología)
Lo he intentado
Mi conjetura es que la respuesta es negativa. Secuencial de los espacios, la respuesta es positiva: si la secuencia de $(a_n,b_n)$ converge a$(a,b)$, $K = \{a_n: n \in \mathbb{N}\} \times \{a\}$ es compacto, por lo que la secuencia pertenece a $K \times B$ y por la continuidad de este conjunto, $f(a,b) = \lim f(a_n,b_n)$. Este argumento no se extiende a las redes, por lo que creo que el reclamo tiene que estar mal, pero no veo cómo hacer un contraejemplo.
(Actualizado) Si $A$ es localmente compacto, la respuesta parece ser positiva: puesto que todos los $a \in A$ tiene un pacto vecindario $K$ cada $(a,b) \in A \times B$ pertenece al interior de $K \times B$ para algunos compacto $K$ y desde $f$ por supuesto es continua en este conjunto y, en consecuencia, en un barrio de $(a,b)$, la función tiene que ser continua en $(a,b)$.
