Valores esperados de algunas propiedades del casco convexo de un conjunto aleatorio de puntos

Question

$N$ los puntos se seleccionan de forma aleatoria uniformemente distribuidos en un disco del radio unitario. Sea $P(N)$ y $A(N)$ denotan el esperado perímetro y el área prevista de sus casco convexo .

• ¿Para qué? $N$ ¿conocemos los valores exactos de $P(N)$ , $A(N)$ ?
• ¿Existe una fórmula general para $P(N)$ o $A(N)$ ?
• ¿Cuál es el comportamiento asintótico de $P(N)$ y $A(N)$ como $N\to\infty$ ?

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$N$ los puntos se seleccionan de forma aleatoria uniformemente distribuidos en un bola del radio unitario. Sea $S(N)$ , $V(N)$ denotan la superficie esperada y el volumen esperado de su casco convexo.

• ¿Para qué? $N$ ¿conocemos los valores exactos de $S(N)$ , $V(N)$ ?
• ¿Existe una fórmula general para $S(N)$ o $V(N)$ ?
• ¿Cuál es el comportamiento asintótico de $S(N)$ y $V(N)$ como $N\to\infty$ ?

Answer 1

Mi intuición de geómetra combinatorio me sugiere lo siguiente y que tendremos la situación típica. Valores exactos de $P(N), A(N), S(N)$ y $V(N)$ puede calcularse para $N$ y la compexidad de estos cálculos crece muy rápidamente con $N$ así que tal vez podamos formular una conjetura correcta para un exacto fórmula de $P(N), A(N), S(N)$ y $V(N)$ pero no podremos demostrarlo. Desde el otro lado, mi intuición sugiere que cuando $N$ tiende al infinito entonces $P(N)$ tiende al perímetro del disco unitario, $A(N)$ tiende al área de la unidad de disco, $S(N)$ tiende a la superficie de la bola unitaria, y $V(N)$ tiende a volumen de la bola de la unidad, pero no puedo decir ahora, qué tan rápido.