Supongamos que $X$ es un esquema y Supongamos que $C$ y $C'$ son dos componentes irreductibles de $X$. Supongamos también que $p \in C \cap C'$. ¿Hace es entonces seguir ese $O_{X,p}$ no es un dominio integral? ¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, asumiendo, por supuesto, $C, C'$ son distintos (que es probablemente lo que querían). Ya que la pregunta es local, podemos suponer $X$ es afín (esta suposición debe ser examinado), dicen dada por $Spec\ A$ un anillo de $A$. Si $I$ es el ideal de la $C$ $J$ es el ideal de la $C'$, $I, J$ son mínimos los números primos de $A$ contenida en el primer ideal $m$ asociado a $p$. Tenga en cuenta que $(0) \subseteq I \cap J \subsetneq I$ (desde $I, J$ son distintos), y así desde $I$ es un mínimo prime, de la siguiente manera $(0)$ no es un alojamiento ideal, por lo $A$ no es un dominio. De ello se desprende que $(0)A_m$ no es un primer ideal de $A_m$ (si lo fuera, entonces su intersección con la a $A$ también sería prime), y, por tanto, $A_m=\mathcal{O}_{X,p}$ no es un dominio.
Si $X$ no es afín, elegir un abrir afín $U=Spec A$ $X$ contiene $p$. El subespacio $U \cap C$ es irreducible, pero como se señaló en los comentarios, no está claro que es un componente de $U$, y esto es crucial para la prueba anterior.
