Submoldeado de$\mathbb R^n$: proyecciones en espacios tangentes

Question

Deje que$M$ sea sub-desplegable de$\mathbb R^n$, para todos$x$ en$M$, deje$\pi_x:\mathbb R^n\rightarrow T_xM$ la proyección ortogonal en el espacio tangente$T_xM$ de$M$ a $x$.
¿Cómo podría demostrar que para todos los$x$ en$M$, existe un vecindario abierto$U$ de$x$, como para todos los$y$ en$U\cap M$,$\pi_y$ restringido en$U$ es un difeomorfismo desde$U$ a$\pi_y(U)$?

Gracias.

Answer 1

Cambio de las coordenadas como$x=0$$\mathbb R^n=T_xM\oplus V=\{(t,w)\}$, lo $T_xM:w=0$.
Por el local teorema de la función inversa existe un abierto barrio de $x$ como $\pi_x:U\rightarrow\pi_x(U)$ es un diffeomorphism.
Denotar por $f:V=\pi_x(U)\rightarrow U$ la función inversa. Por lo $f$ es un local parametrización de $M$ $x$ por un barrio de $0$$T_xM$. Tenemos $f(0)=0$ $d_xf=0$ (desde $T_xM:w=0$).

Deje $y=(t,f(t))\in U\cap M$,$T_yM=\{(t+h,f(t)+d_tf(h))\}$.
Existe $\varepsilon>0$ como $\|d_tf\|<\varepsilon$ todos los $(t,f(t))\in U$, lo $p_y$ es inyectiva en a $U$.
Deje $z\in U$, podemos comprobar que el $d_z(p_y):T_zU\rightarrow T_yU=T_yM$ coincide con la proyección ortogonal $T_zU\rightarrow T_yM$ : $p_y:U\hookrightarrow R^N\rightarrow T_yM$ por lo $d_z(p_y)=T_zU\hookrightarrow R^N\rightarrow T_yM$.Por lo $d_z(p_y)$ es invertible.
Por lo $p_y$ es un diffeomorphism en $U$.