Matrices no singulares con coeficientes acotados

Question

Puedo demostrar que existe $n^2$ enteros positivos $a_1,\ldots ,a_{n^2}$ tal que cada $n\times n$ matriz con coeficientes $a_i$ (usado una y sólo una vez) es no singular.

Dos preguntas:

1. ¿Podríamos encontrar el número entero más pequeño $M_n$ de forma que podamos afirmar que existe $n^2$ enteros positivos $a_1,\ldots ,a_{n^2} \leqslant M_n$ tal que cada $n\times n$ matriz con coeficientes $a_i$ (usado una y sólo una vez) es no singular.

2. ¿Qué condiciones $a,b\in \mathbb R$ son necesarias y suficientes para afirmar que existe $n^2$ números reales $a_1,\ldots ,a_{n^2}$ en $[a,b]$ tal que cada $n\times n$ matriz con coeficientes $a_i$ (utilizado una y sólo una vez) no es singular.

Además, ¿sabe si estas propiedades se utilizan "en algún sitio"?

Answer 1

Ésta es sólo una respuesta parcial. Pero tal vez sea útil para alguien.

$(1)$ Sólo pude demostrar que $M_n\leq p$ donde $p$ es el primer primo mayor que $n^2!n$ .

$(2)$ Por la existencia de $n^2$ números $a_1, \ldots, a_{n^2}\in [a,b]$ tal que toda matriz cuyas entradas formen una permutación del conjunto $\{a_1, \ldots, a_{n^2}\}$ tiene un determinante distinto de cero, es necesario y suficiente que $a<b$ (incluso se puede garantizar que, en este caso, se puede elegir que los números sean racionales).

Veamos por qué $(2)$ es cierto primero, porque está relacionado con mi respuesta a $(1)$ . Utilizaremos métodos de la geometría algebraica.

Claramente, $a<b$ es una condición necesaria, y sólo tenemos que demostrar que es suficiente. Sea $K$ ser un infinito campo. Denotemos por $f(X_1,\ldots, X_{n^2})$ el polinomio $\mathrm{det}(X_1,\ldots, X_{n^2})\in K[X_1,\ldots, X_{n^2}]$ . Dado que la matriz identidad tiene un determinante $1$ el subconjunto de fuga $V(f):=\{(c_1,\ldots, c_{n^2})\in K^{n^2}\mid f(c_1,\ldots, c_{n^2})=0\}$ de $f$ en $K^{n^2}$ no es todo $K^{n^2}$ . Por el mismo razonamiento, para cualquier permutación $\sigma\in S_{n^2}$ (donde $S_{n^2}$ es el grupo de todas las permutaciones del conjunto $\{X_1,X_2,\ldots, X_{n^2}\}$ ), defina $\sigma(f)$ el polinomio $\det(\sigma(X_1),\ldots, \sigma(X_{n^2}))$ entonces $V(\sigma(f))$ también es un subconjunto propio de $K^{n^2}$ . Pero sabemos que $K^{n^2}$ como variedad afín es irreducible, lo que significa que no es una unión finita de subconjuntos cerrados propios, por lo que $\bigcup_{\sigma \in S_{n^2}} V(\sigma(f))$ es un subconjunto propio de $K^{n^2}$ . Esto significa que en cualquier infinito campo $K$ siempre se puede elegir $n^2$ elementos $a_1, \ldots, a_{n^2}$ tal que cualquier matriz cuyas entradas formen una permutación del $n^2$ tiene un determinante distinto de cero.

Ahora dejemos que $K=\mathbb{R}^{n^2}$ . Entonces todo subconjunto Zariski-cerrado de $\mathbb{R}^{n^2}$ no es denso en ninguna parte, lo que implica que el complemento de un subconjunto cerrado propio de Zariski es un subconjunto abierto denso de $\mathbb{R}^{n^2}$ en el sentido euclidiano. Así, si $a<b$ entonces $[a,b]^{n^2}$ contiene al menos un punto que es un punto interior (en el sentido euclidiano) del complemento de $\bigcup_{\sigma\in S_{n^2}}V(\sigma(f))$ en particular, existe un punto de coordenadas racionales en el complemento de $\bigcup_{\sigma\in S_{n^2}}V(\sigma(f))$ . Esto demuestra que $(2)$ es cierto.

Volviendo a $(1)$ . Para encontrar $n^2$ números $a_1,\ldots, a_{n^2}$ en $\mathbb{N}_{+}$ basta con encontrar $n^2$ elementos $b_1, \ldots, b_{n^2}$ en $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para algún número primo $p$ donde algunos de los $b_i$ pueden ser cero, pero al elevar los elementos cero de nuevo a $\mathbb{Z}$ utilizamos $p$ en su lugar. Sin embargo, esto no le dará un límite superior nítido (es decir, la existencia de $a_1,\ldots, a_{n^2}$ no garantiza la existencia de $b_1, \ldots, b_{n^2}$ ). Sea $K=\mathbb{F}_p$ . Desde $\mathbb{F}_p$ es un campo finito, $\mathbb{F}_p^{n^2}$ ya no es irreducible, el método anterior no funciona. Pero sigue siendo cierto que $\bigcup_{\sigma \in S_{n^2}}V(\sigma(f))$ no es todo $K^{n^2}$ mientras $p>n^2!n$ . Para ver esto, calculemos el número de puntos en $V(f)$ Para ello, utilizamos el resultado clásico de que $$ \left| \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\right| = (p^n-1)(p^n-p)\cdot \cdots \cdot (p^n-p^{n-1}).$$ Vemos que $$ |V(f)| = p^{n^2} - \left| \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\right|=p^{n^2}-(p^n-1)(p^n-p)\cdot \cdots \cdot (p^n-p^{n-1}).$$ Así que $$ \begin{align} \left|\bigcup_{\sigma\in S_n}V(\sigma(f))\right| &\leq n^2!\left[p^{n^2}-(p^n-1)(p^n-p)\cdot \cdots \cdot (p^n-p^{n-1})\right] \\ &<n^2!\left[p^{n^2}-(p^n-p^{n-1})^n\right] \\ &=p^{n^2}n^2!\left[1-\left(1-\frac{1}{p}\right)^n\right] \\ &=p^{n^2}n^2!\sum_{k=1}^n{n\choose k}(-1)^{k-1}\frac{1}{p^k}. \tag{A} \end{align} $$ Observe que cuando $p>n^2!n$ para cualquier $k$ tal que $1\leq k< n$ tenemos $$ p> n-k> \frac{n-k}{k+1} =\frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}= \frac{n \choose k+1}{n\choose k},$$ así que $$ {n\choose k} \frac{1}{p^k} > { n\choose k+1} \frac{1}{p^{k+1}}. $$ Esto significa (piense en las series alternas) en Desigualdad $(A)$ tenemos $$ \sum_{k=1}^n {n\choose k}(-1)^{k-1}\frac{1}{p^k} \leq {n\choose 1} \frac{1}{p} =\frac{n}{p}.$$ Así, $$\left|\bigcup_{\sigma\in S_{n^2}}V(\sigma(f))\right| < p^{n^2}\frac{n^2!n}{p}< p^{n^2}.$$

En conclusión, $(1)$ también es cierto.