Cómo probar que una declaración de la existencia no puede ser constructiva

Question

Dada la bien conocida espacios de secuencias: $$ l_\infty =\{(x_n), n\in \mathbb{N}, x_n \in \mathbb{R} : \sup_n |x_n|<\infty\} $$ $$ l_1= \{(x_n), n\in \mathbb{N}, x_n \in \mathbb{R} : \sum_n |x_n|<\infty\} $$ podemos probar, por Hahn-Banach teorema, que $l_1\subsetneqq( l_\infty)^*$ donde $( l_\infty)^*$ es el espacio dual de $ l_\infty$. Pero parece que es imposible mostrar explícitamente un elemento de $( l_\infty)^*/l_1$.

Aquí me encontré con que "es imposible que un ejemplo claro para ser construido", pero no hay una prueba de esta afirmación. Me encontré con la misma declaración también aquí, pero de nuevo sin la prueba. Traté de encontrar una prueba pero es demasiado duro para mí. Alguien me puede dar un esbozo de la prueba, o indicar una fuente accesible donde puedo encontrar esa prueba? Estoy interesado en esta cuestión, ya que tiene que ver con que , ¿realmente necesitamos reales?, un ejemplo de un no constructiva teorema de existencia con una explícita prueba el hecho de que un enfoque constructivo es imposible. Algunos conocidos, otros resultados similares?

Answer 1

La respuesta es dada en tanto sus fuentes, en el segundo, de manera más explícita. Sela mostró que, suponiendo ZF es consistente, ZF no puede demostrar que $(\ell^\infty)^\ast \neq \ell^1$. En particular, algunos de los métodos constructivos son necesarios para separar las $(\ell^\infty)^\ast$$\ell^1$. Sela, el resultado es aún más fuerte: incluso ZF+DC no puede demostrar que $(\ell^\infty)^\ast \neq \ell^1$ (Dependiente de la Elección es una forma débil de CA).

Aquí ZF es Zermelo–Fraenkel, la costumbre constructivo conjunto de axiomas utilizados para la teoría de conjuntos. La no-constructiva Axioma de Elección es también generalmente se supone, y esto implica, en particular, el de Hahn–Banach teorema, que a su vez muestra que $(\ell^\infty)^\ast \neq \ell^1$. Sin AC, sin embargo, el de Hahn–Banach teorema no puede ser probado, como el Sela, el resultado de la muestra. Sela demostró su resultado por la construcción de un modelo de ZF+DC en el que $(\ell^\infty)^\ast = \ell^1$. El papel exacto de Sela es probablemente hace referencia en Schechter del libro Manual de Análisis y de sus Fundamentos, pero podría llegar a ser demasiado técnicos para que usted (o yo).