Su argumento no funciona, por desgracia. De $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{q_{n+1}}{q_n} = p$ no se deduce que $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{q_n}{p^n}$ existe, o si existe, que es un número real positivo. Consideremos, por ejemplo $q_n = n^{\alpha}$ . Entonces tenemos $\frac{q_{n+1}}{q_n} \to 1$ para todos $\alpha\in \mathbb{R}$ pero $q_n \to 0$ para $\alpha < 0$ y $q_n \to +\infty$ para $\alpha > 0$ . Para un ejemplo en el que el límite no existe en el sentido extendido, considere una secuencia $(q_n)$ que oscila entre digamos $2$ y $3$ con $\lvert q_{n+1} - q_n\rvert \to 0$ . Además, a partir de la igualdad asintótica $\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e}$ solo, no podemos deducir $\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{n!} \to \frac{1}{e}$ . Necesitamos información más precisa para ese resultado.
Sin embargo, desde $\frac{q_{n+1}}{q_n} \to p$ se deduce que $\sqrt[n]{q_n} \to p$ ya que para las secuencias positivas $(a_n)$ tenemos las desigualdades
$$\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} \leqslant \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} \leqslant \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$
Definamos $(\beta_n)$ a través de
$$\frac{q_{n+1}}{q_n} = p\cdot e^{\beta_{n+1}}.$$
Entonces tenemos
$$q_n = q_0 \cdot p^n \cdot \prod_{\nu = 1}^n e^{\beta_{\nu}}$$
y
$$\sqrt[n]{q_n} = \sqrt[n]{q_0}\cdot p \cdot \exp \Biggl(\frac{1}{n}\sum_{\nu = 1}^n \beta_{\nu} \Biggr).$$
Definir $c_n = \frac{1}{n}\sum_{\nu = 1}^n \beta_{\nu}$ . Nuestra suposición $\frac{q_{n+1}}{q_n} \to p$ significa que tenemos $\beta_n \to 0$ y por lo tanto también el Cesàro significa $c_n$ convergen a $0$ .
Por la aproximación de Stirling,
$$\log n! = \bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\log n - n + \log \sqrt{2\pi} + O(n^{-1}),$$
obtenemos
$$\frac{\log n!}{n} = \log n - 1 + \frac{\log (2\pi n)}{2n} + O(n^{-2})$$
y
\begin{align} \sqrt[n]{n!} &= \frac{n}{e}\exp\biggl( \frac{\log (2\pi n)}{2n} + O(n^{-2})\biggr)\\ &= \frac{n}{e}\biggl(1 + \frac{\log (2\pi n)}{2n} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n^2}\biggr)\biggr)\\ &= \frac{n}{e} + \frac{\log (2\pi n)}{2e} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n}\biggr). \end{align}
Desde $\sqrt[n]{q_0} = \exp \frac{\log q_0}{n} = 1 + \frac{\log q_0}{n} + O(n^{-2})$ obtenemos
$$\sqrt[n]{n!\cdot q_0} = \frac{n}{e} + \frac{\log q_0}{e} + \frac{\log (2\pi n)}{2e} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n}\biggr),\tag{1}$$
y luego, con $p_n = n!\cdot q_n$ obtenemos
\begin{align} \sqrt[n+1]{p_{n+1}} - \sqrt[n]{p_n} &= \sqrt[n+1]{(n+1)!\cdot q_0}\cdot p e^{c_{n+1}} - \sqrt[n]{n!\cdot q_0} \cdot p e^{c_n}\\ &= \sqrt[n+1]{(n+1)!\cdot q_0}\cdot p \bigl(e^{c_{n+1}} - e^{c_n}\bigr) + p e^{c_n}\bigl(\sqrt[n+1]{(n+1)!\cdot q_0} - \sqrt[n]{n!\cdot q_0}\bigr).\tag{$\ast$} \end{align}
Desde $c_{n+1} - c_n = \frac{\beta_{n+1} - c_n}{n+1} \in o(n)$ tenemos
$$e^{c_{n+1}} - e^{c_n} = e^{c_n}\bigl(e^{c_{n+1}-c_n}-1\bigr) = e^{c_n}\biggl(\exp\biggl(\frac{\beta_{n+1} - c_n}{n+1}\biggr) - 1\biggr) \in o(n),$$
y con $\sqrt[n+1]{(n+1)!} \sim \frac{n+1}{e}$ se deduce que el primer sumando en $(\ast)$ tiende a $0$ .
Desde $(1)$ obtenemos
$$\sqrt[n+1]{(n+1)!\cdot q_0} - \sqrt[n]{n!\cdot q_0} = \frac{1}{e} + \frac{\log \bigl(1 + \frac{1}{n}\bigr)}{2e} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n}\biggr) = \frac{1}{e} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n}\biggr),$$
y como $c_n \to 0$ el segundo sumando en $(\ast)$ tiende a $\frac{p}{e}$ , dando
$$\lim_{n\to \infty} \bigl(\sqrt[n+1]{p_{n+1}} - \sqrt[n]{p_n}\bigr) = \frac{p}{e}$$
para que sea positivo $p_n$ avec $\frac{p_{n+1}}{np_n} \to p \in (0,+\infty)$ .
¿Existe un resultado más refinado, con más términos más allá de $\frac{p}{e}$ ?
Eso depende de qué "más términos más allá de $\frac{p}{e}$ " significa. Por supuesto, podríamos mantener algunos términos más que impliquen $c_n$ y $c_{n+1} - c_n$ explícita. En ese sentido, podríamos tener un resultado más refinado. Pero sin más información sobre $(\beta_n)$ Creo que estos términos no serían útiles, ya que el comportamiento de estos términos podría ser más o menos arbitrario.
