Definición de categoría localmente presentable

Question

El libro estándar en categorías localmente presentables define como: cocomplete categorías con un pequeño conjunto de $\lambda$-pequeños objetos, generando objetos de la categoría bajo $\lambda$-filtrado colimits.

nLab tiene la misma definición pero gotas $\lambda$-condición de filtrado.

¿Esas definiciones son equivalentes? O ¿nLab utiliza una especie de principio de Vopenka?

Answer 1

Las definiciones son equivalentes.

Deje $\mathcal{C}$ ser un cocomplete localmente categoría pequeña. Deje $\kappa$ regular cardenal y deje $\mathcal{G}$ ser una pequeña completo subcategoría de $\mathcal{C}$ cumplan estas condiciones:

• Cada objeto en $\mathcal{G}$ $\kappa$- presentable objeto en $\mathcal{C}$.
• Cada objeto en $\mathcal{C}$ es el colimit (en $\mathcal{C}$) de un pequeño diagrama en $\mathcal{G}$.

A continuación, $\mathcal{C}$ es un local $\kappa$-presentable categoría. La prueba no es tan difícil: dejar $\overline{\mathcal{G}}$ es el cierre de $\mathcal{G}$ bajo $\kappa$-pequeño colimits en $\mathcal{C}$; a continuación, $\overline{\mathcal{G}}$ es el total de la subcategoría de $\kappa$-presentable objetos en $\mathcal{C}$, $\overline{\mathcal{G}}$ es esencialmente pequeños, y cada objeto en $\mathcal{C}$ es el colimit de un filtrado diagrama en $\overline{\mathcal{G}}$. De hecho, dado que cualquier pequeña categoría $\mathcal{J}$, vamos a $\overline{\mathcal{J}}$ ser la categoría obtenida mediante la libre contiguo finito colimits a $\mathcal{J}$; a continuación, $\overline{\mathcal{J}}$ se filtra, y para cualquier diagrama de $X : \mathcal{J} \to \mathcal{G}$, hay un canónica de la extensión de $\overline{X} : \overline{\mathcal{J}} \to \overline{\mathcal{G}}$ tal que ${\varinjlim}_\mathcal{J} X \cong {\varinjlim}_{\overline{\mathcal{J}}} \overline{X}$.

Borceux demuestra una versión más fuerte de la anterior afirmación en el artículo 5.2 de [Manual de categórico álgebra, Vol. 2].