Base integral para un campo numérico.

Question

Necesito un poco de ayuda para resolver el siguiente problema:

Supongamos $K$ es un campo de número y $K=\mathbb{Q}(\theta)$ donde $\theta\in\mathfrak{O}_K$, el anillo de enteros de $K$. Ahora entre los elementos en $\mathfrak{O}_K$ de la forma $$\frac{1}{d}(a_0+\cdots+a_i\theta^i)$$($0\ne a_i$; $a_0,\ldots a_i\in\mathbb{Z})$, where $d$ is the discriminant of $K$, pick one with the minimum value of $|a_i|$ and call it $x_i$. Do this for $i=1,\ldots ,n=\dim_{\mathbb{Q}}K$. I need to show that $\lbrace x_1,\ldots ,x_n\rbrace$ is an integral basis for $K$.

Aquí están mis pensamientos: Si podemos demostrar que el discriminante de $\lbrace x_1,\ldots ,x_n\rbrace$, la cual puede ser demostrado ser un $\mathbb{Q}$-base, es menor o igual a$d$, entonces hemos terminado; traté de mostrar esto, pero no han tenido éxito. Tengo que usar de algún modo el hecho de que $|a_i|$ es el mínimo que soy incapaz de ver cómo. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Puede usted demostrar que $|\Delta(x_1,\dots,x_n)|$ es el mínimo entre todos los números enteros? Si es así, supongamos que no se trata de una integral, de tal manera que hay algunos $\alpha\in\mathfrak{O}_K$ tal que $\alpha=b_1x_1+\cdots+b_nx_n$$b_1,\dots,b_n\in\mathbb{Q}$, pero al menos uno no es en $\mathbb{Z}$, decir $b_1\notin\mathbb{Z}$. A continuación, $b_1=b+r$ donde $b\in\mathbb{Z}$, e $0<r<1$, y se puede construir un nuevo conjunto de números enteros, $y_1=\alpha-bx_1$, e $y_i=x_i$$i=2,\dots,n$. Puede usted, a continuación, mostrar que $|\Delta(y_1,\dots,y_n)|<|\Delta(x_1,\dots,x_n)|$?

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Edit. Lo siento, cero es el método que yo estaba pensando. Aunque yo todavía creo que se puede hacer de esa manera, sería mucho más complicado de lo que creo que es necesaria.

Deje $G=\mathbb{Z}x_1+\cdots+\mathbb{Z}x_n\subseteq\mathfrak{O}$. Claramente $x_1,\dots,x_n$ span $K/\mathbb{Q}$, así que podemos escribir $\alpha=b_1x_1+\cdots+b_nx_n$, para algunas de las $b_1,\dots,b_n\in\mathbb{Q}$. Escribir cada una de las $b_i=c_i+r_i$ donde $c_i\in\mathbb{Z}$, e $0\le r_i<1$. Entonces $$ \alpha\underbrace{c_1x_1+\cdots+c_nx_n}_{\~G}=r_1x_1+\cdots+r_nx_n $$ Ahora mira a los coeficientes de las potencias de $\theta$, y no olvides que el $[\mathfrak{O}_K/\mathbb{Z}[\theta]]$ divide $d$.