Distribución predictiva con integral divergente

Question

Estoy teniendo algunos problemas para la comprensión de la definición básica de una posterior distribución predictiva y cómo se aplica a ejemplos sencillos.

Tengo que si $$y \sim g(y\mid \theta, x)$$

a continuación, el predictivo de la distribución posterior es

$$g(y\mid x)=\int g(y\mid\theta,x)\pi(\theta\mid x) \,d\theta$$

Así que estoy tratando de trabajar a través de un ejemplo de este, donde

$x \sim \operatorname{Normal}(\theta, \sigma^2)$ e $y \sim \operatorname{Normal}(ex,\sigma^2)$ e $\pi(\theta,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma^2}$

Y yo no estoy seguro de entender todas las notaciones correctamente. Yo no tengo ningún ejemplos tanto de la realidad, la solución para esto, pero yo estaría interesado en ver alguna.

Así que sé que $$\pi(\theta\mid x) \propto \pi(x\mid\theta) \pi(\theta)$$

por lo $$\pi(\theta,\sigma^2\mid x) \propto \exp\left(\frac{-1}{2\sigma^2}{(x-\theta)^2}\right) \frac{1}{\sigma^2}$$

Pero entonces yo no estoy seguro de cómo proceder.

Supongo que estoy buscando $\pi(Y\mid X=x)$

Bien $P(Y\mid X=x,\theta , \sigma^2) = \exp(\frac{-1}{2\sigma^2}(y-ex)^2)$

así,

$$P(Y\mid X=x,\theta , \sigma^2) \pi(\theta,\sigma^2 \mid x)= \frac{1}{\sigma^2} \exp\left(\frac{-1}{2\sigma^2}[(y-ex)^2+(x-\theta)^2]\right)$$

Tenga en cuenta que si tratamos de integral doble para normalizar más de $\pi(x\mid\theta , \sigma^{2})\pi(\theta,\sigma^2)$ obtenemos un divergentes integral. Así que no podemos hacer de la igualdad.

Answer 1

Para resumir, usted debe saber antes de la distribución de $\sigma^2$. Y, sí, usted necesita el doble integral para integrar ambos $\sigma^2, \theta$, a menos que $\sigma^2$ ha asumido ser una constante dada.

Vamos a aclarar lo que usted está buscando. Estás buscando el posterior predictivo, es decir, la distribución de $Y | X=x$. Su modelo es el siguiente. Dada la constante $e$,

$$ \begin{aligned} X \mid \theta, \sigma^2 &\sim N(\theta,\sigma^2) \\[7pt] Y \mid x, \theta, \sigma^2 &\sim N(ex,\sigma^2) \\[7pt] π(θ \mid \sigma^2) &= 1/\sigma^2 I_\Theta \\[7pt] \sigma^2 &\sim f_{\sigma^2} \end{aligned} $$

Así que usted tiene

$$ \begin{aligned} \pi(\theta, \sigma^2 \mid x ) &\propto \pi(x \mid \theta, \sigma^2) \pi(\theta \mid \sigma^2) \pi(\sigma^2)\\[7pt] &\propto \exp(-\frac{1}{2\sigma^2} (x-\theta)^2) 1/\sigma^2 \cdot f_{\sigma^2} \end{aligned} $$

Así

$$ \begin{aligned} P(Y \mid X=x) &= \int_{\sigma^2} \int_\theta P( Y, \theta, \sigma^2 \mid X=x) \\[7pt] &= \int_{\sigma^2} \int_\theta \pi(Y \mid x, \theta, \sigma^2) \pi (\theta \mid \sigma^2) f_{\sigma^2} \\[7pt] &= \int_{\sigma^2} \int_\theta N(ex,\sigma^2) 1/\sigma^2 f_{\sigma^2} \\[7pt] \end{aligned} $$