¿Cuál es la definición formal de una topología Mackey?

Question

Creo que la pregunta se explica por sí misma. Después de navegar por la web destacan las siguientes definiciones:

Supongamos que tenemos un par dual $(X,X')$

• La topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados de $X'$ que son compactas en la topología débil $\sigma(X,X')$ . (de Enciclopedia de Matemáticas )
• ¿Es una topología polar definida en $X$ utilizando el conjunto de todos los conjuntos absolutamente convexos y débilmente compactos en $X'$ . (de Wikipedia )

Sin embargo, ninguna de las dos puede considerarse una definición ''formal'' y para un aficionado al análisis funcional las definiciones son muy oscuras.

La definición de Wikipedia parece más adecuada para un profano, pero no especifica cómo ''utilizar'' los conjuntos absolutamente compactos y los conjuntos débilmente compactos.

Además, agradecería mucho alguna intuición sobre la relevancia del concepto y algunas referencias sólidas para aprender sobre el tema. Me encontré con este concepto mientras investigaba sobre la elección social [Shinotsuka, Tomoichi. "Equidad, continuidad y miopía: una generalización del teorema de imposibilidad de Diamond". Social Choice and Welfare 15.1 (1997): 21-30].

Answer 1

Ambas definiciones son perfectamente "formales", siempre que se conozca el significado de todos los términos. La definición de wikipedia enlaza con topología polar donde se explica cómo se genera la topología. Tanto la página de la wikipedia como la de la Enciclopedia apuntan a libros de texto sobre espacios vectoriales topológicos en los que se puede aprender más. Probablemente el libro de Schaefer es un buen lugar para empezar.

Answer 2

Puede definir la topología Mackey $\tau(X,X')$ como la topología más fina en $X$ que preserva $X'$ como doble. El teorema de Mackey-Arens afirma que cualquier topología que preserva $X'$ es más fina que la topología débil pero más gruesa que la topología Mackey.

Si esta definición no es satisfactoria, también podemos utilizar los polares para definirla. Si $A \subset X$ set $A^\circ:=\{ f \in X' \mid |f(x)|\leq 1 \text{ for all } x \in A\}$ .

Dejemos que $\mathfrak{S} \subset X'$ sea una colección de $\sigma(X',X)$ -conjuntos limitados. Para cada $A \in \mathfrak{S}$ podemos definir una seminorma $\rho_A: X \to \mathbb{R}$ por $\rho_A (x) = \sup_{f \in A} |f(x)|$ . La familia de seminormas $\{ \rho_A\mid A \in \mathfrak{S}\}$ define una topología localmente convexa en $X$ .

Esta topología puede describirse de la siguiente manera: Para $A\in \mathfrak{S}$ , defina $V_{A, \epsilon} := \{x \in A \mid \rho_A(x)<\epsilon \}$ . La familia $$\{y + V_{A,\epsilon}\mid y\in X, A \in \mathfrak{S}, \epsilon >0 \}$$ forman una subbase de esta topología. Alternativamente, una red $(x_i)$ converge a $x$ si y sólo si $\rho_A(x_i -x) \to 0$ para todos $A \in \mathfrak{S}$ .

Un subconjunto $D \subset X'$ es absolutamente convexo si para todo $x,y \in X$ , $\alpha, \beta > 0$ con $\alpha + \beta \leq 1$ entonces $\alpha x + \beta y \in D$ .

La topología Mackey $\tau(X, X')$ en $X$ es la topología polar inducida por la colección $\mathfrak{S}$ de todos $\sigma(X',X)$ -discos compactos. Del mismo modo, se puede definir $\tau(X',X)$ en $X'$ .

Me gusta el libro 'Topological vector spaces and distributions' de J. Horvath.