¿Un problema de Matrices - Cayley-Hamilton o Bash?

Question

He aquí un fresco problema que me encontré hace algún tiempo, y no he sido capaz de resolverlo sin embargo, esperemos que la gente en Matemáticas SE vienen con soluciones interesantes para él!)

$A$ es una matriz cuadrada de orden 2, con $|A| ≠ 0$ tal que $|A + |A|adj(A)| = 0$ donde $|A|$ $adj(A)$ el valor del determinante y adjunto/adjunta de la matriz a, respectivamente. Encontrar $|A - |A|adj(A)| = ?$

Hay alguna forma de evitar un golpe, suponiendo que los elementos de la matriz y, a continuación, tratando de calcular el deseado determinante? Sería posible continuar el uso de Cayley Hamilton teorema?

También, creo que este resultado podría ser generalizables a una matriz cuadrada nxn. Así que, por favor, que me ayude a encontrar el valor de la determinante, y también vamos a investigar colectivamente este problema para las matrices cuadradas de orden superior - probablemente podría ser una interesante generalización, ¿quién sabe?

Actualización: acabo de resolver el problema de un cuadrado de 2x2 matriz de que la causa determinante es 4, y el determinante de la matriz es 1. Ahora, la pregunta que queda es, ¿cómo puedo solucionarlo para una matriz cuadrada nxn?

Answer 1

Usted está leyendo demasiado en la cuestión. El resultado no generalizar bien a las dimensiones superiores. Consideremos el $2\times2$ caso primero. Presumiblemente $A$ es real. Deje $d=|\det(A)|$, el valor absoluto de a$\det(A)$. La condición dada puede escribirse como $\det(A + d^2A^{-1}) = 0$, lo que implica que $\det(A^2 + d^2 I) = 0$. Esto simplemente significa que $-d^2$ es un autovalor negativo de $A^2$.

Desde $\det(A^2)=d^2$, cuando se $A$ es $2\times2$, el otro autovalor de a$A^2$ ha $-1$. Por lo tanto $A^2$ tiene dos reales negativos autovalores $-d^2$ e $-1$. Por lo tanto, $A$ debe tener un conjugado par de autovalores. Por lo tanto $d=1$ y también se $\det(A)=|\det(A)|$. De ello se desprende que el polinomio característico de a$A^2$ es $p(x) = (x+d^2)(x+1) = (x+1)^2$y $$ \det\left (\det(A)\operatorname{adj}(A)\right) =\det(A^{-1})\det(A^2 - d^2I) =\frac1d p(d^2) = 4. $$ Esto concluye la $2\times2$ caso. Cuando $A$ al menos $3\times3$, sólo lo que he dicho en el primer párrafo sigue siendo válido. La condición de $\det\left(A + \det(A)\operatorname{adj}(A)\right)$ es verdadera si y sólo si $-d^2$ es un autovalor de a$A^2$, lo que significa que $A$ es similar a la $$ \left(\begin{array}{c|c}\pmatrix{0&-d\\ d&0}&\ast\\ \hline0&P^{-1}\end{array}\right) $$ para algunos reales de la matriz $P$ con determinante $\pm d$ (a diferencia de la $2\times2$ caso $\det(A)$ no es necesariamente igual a $|\det(A)|$ aquí y su señal es controlada por $P$). Por lo tanto \begin{align} \det\left(A - \det(A)\operatorname{adj}(A)\right) &=\det(A-d^2A^{-1})\\ &=4d^2\det\left(P^{-1} - d^2P\right)\\ &=4\det(P)\det\left(I - d^2P^2\right), \end{align} cuyo valor puede asumir ninguna positivo, cero o negativo el valor real. La respuesta por loup blanc se obtiene mediante el uso de un bloque-diagonal de la matriz $A$ con $d=P=\frac1z$.

Answer 2

En primer lugar, observe que la condición de $\operatorname{det}(A + \operatorname{det}(A) \operatorname{adj}(A)) = 0$ es invariante bajo la conjugación $A \mapsto P A P^{-1}$, y así basta para comprobar un elemento para cada similitud de la clase. Cada una de las $2 \times 2$ real de la matriz es similar a una triangular superior de la matriz, o un "número complejo" de la matriz.

Triangular superior caso

$$A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & t \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$$ La condición de $\operatorname{det}(A) \neq 0$ da $\lambda_1$ e $\lambda_2$ son cero. Calculamos $$A + (\operatorname{det} A)(\operatorname{adj} A) = \begin{pmatrix} \lambda_1 + \lambda_1 \lambda_2^2 & -t\lambda_1 \lambda_2 \\ 0 & \lambda_2 + \lambda_1^2 \lambda_2 \end{pmatrix}$$ que ha determinante $\lambda_1 \lambda_2 (1 + \lambda_1^2) (1 + \lambda_2^2)$. Este determinante es cero las fuerzas de uno de los $\lambda_1, \lambda_2$ a ser cero, lo cual no está permitido. Así que no hay parte superior triangular de la real matrices $A$ la satisfacción de las condiciones.

Número complejo caso

$$ A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$$ En este caso la matriz de $A$ obras como el complejo de número de $z = a + ib$, y tenemos $\operatorname{det}(A) = z \overline{z}$ e $\operatorname{adj}(A) = \overline{z}$, donde $\overline{z} = a - ib$ es el complejo conjugado. Así $$\operatorname{det}(A + (\operatorname{det} A)(\operatorname{adj} A)) = |z + z \overline{zz}|^2 = |z|^2 |1 + \overline{z}^2|^2 = 0$$ le da a ese $z$ debe ser una raíz cuadrada de $-1$, es decir, una de las dos matrices $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Conclusión

De manera que la ecuación sólo tiene soluciones cuando se $A$ es invertible $2 \times 2$ matriz de autovalores $\pm i$. En este caso, es fácil de comprobar (mediante cualquiera de las dos matrices anteriores) que $\operatorname{det}(A - (\operatorname{det} A)(\operatorname{adj} A)) = 4$.

No voy a hacer ninguno de los casos con más dimensiones, pero tal vez esto le da una manera de pensar acerca de lo que podría suceder. Por ejemplo, todos los $3 \times 3$ real de la matriz es similar a una triangular superior de la matriz, o un "bloque de la parte superior triangular de la matriz", donde a lo largo de la diagonal tenemos una entrada real, y, a continuación, una $2 \times 2$ "número complejo" de entrada.

Answer 3

<span class="math-container">$n=3$</span>, El resultado requerido depende de la matriz <span class="math-container">$A$</span>.

Por ejemplo <span class="math-container">$A=\begin{pmatrix}z&0&0\0&0&1/z\0&-1/z&0\end{pmatrix}$</span> donde <span class="math-container">$z\in\mathbb{R}\setminus{0}$</span>.