Evaluando el límite para un punto en la curva

Question

Para un punto de $P(a,b)$ es un punto de la mentira en la curva de la satisfacción de $$2xy^2dx + 2x^2 y dy - \tan(x^2y^2) dx =0 $$

$\lim_{a\to -\infty}b = ? $

Las opciones son:
a) $ 0$

b) $-1 $

c) $1$

d) no existe.

Intento:

Si observamos cuidadosamente, se obtiene:

$d(x^2 y^2) = \tan(x^2 y^2) dx$

$\implies \ln(c\sin x^2y^2) = x$

$\implies c \sin (x^2 y^2) = e^x$

Ahora claramente como $x \to -\infty ~ , e^x \to 0$, por lo que claramente $y \to 0$

Pero la respuesta es la d. Por favor, hágamelo saber de mi error.

Answer 1

Tenemos la siguiente línea:

ps

El problema es que $$c \sin (x^2 y^2) = e^x$ devuelve solo una única rama de $\arcsin$ , no todas:

Ahora, $\sin$ da $c \sin (x^2 y^2) = e^{x}$$$\sin (x^2 y^2) = \frac{e^{x}}c\implies x^2 y^2=\arcsin\left(\frac{e^{x}}c\right)\color{red}{+2k\pi}\\\implies y=\pm\frac1x\sqrt{\arcsin\left(\frac{e^{x}}c\right)\color{red}{+2k\pi}}$ y$So you have more then a single value for $ x $ y las respuestas son tan grandes como queremos para que el límite no se elimine de ellas. Así que el límite no está definido.