Verificación de la prueba:$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)=0$

Question

Estoy teniendo problemas con la formación de la discusión parte de la prueba porque no estoy seguro de si estoy viniendo para arriba con el derecho de la estimación. Es esta una forma adecuada de venir para arriba con una estimación?

Me escribió:

Queremos mostrar que $\forall \epsilon >0$, $\exists N>0$, $N\in \mathbb{N}$ s.t. $n>N \Longrightarrow |(\sqrt{n^2+1}-n)-0|<\epsilon$. A continuación, vamos a proceder a la simplificación de $$ \begin{split} \sqrt{n^2+1}-n &= \left(\sqrt{n^2+1}-n\right) \times \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n}\\ &=\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \end{split} $$ utilizando la conjugada. Ahora vamos a proceder haciendo una estimación, vemos que $$ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \leq \frac{1}{n+1}, \quad \text{donde } n > 1. $$ Así que vamos a $\frac{1}{n+1} < \epsilon$ , a Continuación, multiplicando ambos lados por $(n+1)$ y dividiendo ambos lados por $\epsilon$ tenemos $\frac{1}{\epsilon}< n+1$. Ahora queremos restar 1 de ambos lados y llegamos a $\frac{1}{\epsilon}-1 < n$. Vamos a elegir a$N=\frac{1}{\epsilon}-1$ cuando $n>1$

Soy nuevo en la formulación de las pruebas con rigor. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

ps

Answer 2

Aquí está la plantilla:

Deje que $\epsilon > 0 $ sea ​​dado.

Elija $N= .... $ (Aquí está la opción de $N$ que depende de $\epsilon)$

Ahora, para $n > N $ , muestre que su $N$ satisface

ps

Solo muestra tu trabajo al revés.

Answer 3

Has hecho bien.

Quizá manera más fácil es observar que $\sqrt{n^2+1}+n>2n$, por lo que $$ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}<\frac{1}{2n} $$ y sólo tenemos que tomar como $N$ cualquier número entero tal que $$ N>\frac{1}{2\varepsilon} $$ (que existe por la propiedad de Arquímedes). Tan pronto como $n>N>1/(2\varepsilon)$ hemos $$ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}<\frac{1}{2n}<\frac{1}{2N}<\varepsilon $$