Una prueba usando la contrapositive

Question

Estoy tratando de probar la siguiente conjetura:

Probar que si $m$ e $n$ son enteros y $mn$ es incluso, a continuación, $m$ es incluso o $n$ es incluso.

Prueba por contraposición:

Suponga $m$ e $n$ son impares. A continuación, $m = 2k + 1$ e $n = 2l + 1$. Así $$mn = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1$$ QED

¿Hay algo más que necesita hacer con el fin de demostrar esta conjetura? Gracias!

Answer 1

Usted lo hizo muy bien: llegó a la "carne" de la prueba.

Voy simplemente añadir "un plato":

Solo quiero agregar, después de demostrar que, dado $m$ e $n$ son ambos impares, y por lo tanto, como impar, existe un entero k tal que $m= 2k+1$, y un entero $l$ tal que $n = 2l+1$. Por lo tanto se deduce que $$mn= 2(2kl + k + l) + 1 $$ by concluding that $$mn= 2(2kl + k + l) + 1 \,\text{ is odd. }$$

Por lo tanto, por la equivalencia de la contrapositivo, hemos demostrado que: "Si $mn$ es par, entonces cualquiera de las $m$ o $n$ (o ambos) es aún."

Answer 2

Aquí está una manera ligeramente diferente de hacerlo.

En primer lugar observamos que la diferencia entre dos números es porque a $2a-2b=2(a-b)$ e si $m$ es impar, a continuación, $m-1$ es incluso lo $m-1=2r$ e $m=2r+1$.

Ahora supongamos $mn$ es incluso y $m$ es impar, entonces $mn=(2r+1)n=2rn+n$ e $n=mn-2rn$ es la diferencia entre dos números pares y por lo tanto es aún.

Así que si $mn$ es incluso y $m$ no hemos demostrado que $n$ es incluso. Por lo tanto, si $mn$ es aún bien $m$ es par o $n$ es incluso.

Answer 3

El contrapositivo es

Si $m$ es impar y $n$ es impar, entonces $mn$ es impar.

Si puedes demostrarlo, entonces, puesto que es equivalente al problema original, se le han solucionado el problema.

Que se hizo correctamente. Tal vez, lo único que podría agregar es que al principio:

$m$ extraño por lo tanto que podemos encontrar algunos entero $k$ , de modo que $m=2k+1$ y podemos encontrar algunos entero $l$ , de modo que $n=2l+1$