Tannakian teoría de álgebras de Lie

Question

Deje $G$ ser una versión reducida (sólo en el caso) algebraicas lineales grupo de más de $\mathbb{C}$ y deje $\mathfrak{g}$ ser la Mentira de álgebra de $G$. Considerar la categoría de $\operatorname{Rep}(G)$ finito de representaciones tridimensionales de $G$. Deje $F\colon \operatorname{Rep}(G) \rightarrow \operatorname{Vect}_{\mathbb{C}}$ ser el forgetfull (fibra) functor. De acuerdo a la Tannkian formalismo, grupo $G$ coincide con el grupo de tensor de authomorphisms de la functor $F$.

Es cierto que la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$ no es otra cosa sino la Mentira de álgebra de endomorphisms $E\colon F \rightarrow F $ tal que para cualquiera de las dos representaciones de $V,W \in \operatorname{Rep}(G)$ el siguiente mapa $ F(V) \otimes F(W) \xrightarrow{E(V)\otimes \operatorname{Id} + \operatorname{Id} \otimes E(W)} F(V)\otimes F(W) $ coincide con el mapa de $F(V\otimes W) \xrightarrow{E(V\otimes W)} F(V\otimes W)$ con respecto a la identificación de $F(V)\otimes F(W) \simeq F(V\otimes W)$?

Answer 1

Sí, la afirmación es verdadera para general $G$ (no sólo reductora).

Escribir $A$ para el anillo de funciones regulares en $G$, que es un conmutativa álgebra de Hopf. Para cada representación $V$, hay un comodule estructura $\Delta_V:F(V)\to F(V)\otimes A$. La multiplicación $m:A\otimes A\to A$ es compatible con el producto tensor de representaciones en el sentido de que los siguientes dos mapas son iguales: $$ F(V)\otimes F(W)\xrightarrow{\Delta_V\otimes\Delta_W} (F(V)\otimes A)\otimes (F(W)\otimes A)\a F(V)\otimes F(W)\otimes\otimes\xrightarrow{\mathrm{Id}\otimes m}F(V)\otimes F(W)\otimes Una, $$ $$ F(V)\otimes F(W)=F(V\otimes W)\xrightarrow{\Delta_{V\otimes W}} F(V\otimes W)\otimes A=F(V)\otimes F(W)\otimes A. $$

Hay un bijection entre el functorial endomorphisms de $F$ (ignorando el tensor de la estructura) y el lineal de los mapas de $\varphi:A\to \mathbb{C}$: el endomorfismo correspondiente a $\varphi$ es $$ F(V)\xrightarrow{\Delta_V} F(V)\otimes\xrightarrow{\mathrm{Id}\otimes\varphi} F(V). $$

Escribir $\epsilon:A\to\mathbb{C}$ para el counit, que corresponde a la identidad endomorfismo ($\epsilon$ toma regular de la función a su valor en el elemento de identidad de $G$). La condición de que $\varphi$ corresponde a un endomorfismo la satisfacción de su condición es que el mapa $$ F(V)\otimes F(W)\xrightarrow{\Delta_V\otimes\Delta_W} (F(V)\otimes A)\otimes (F(W)\otimes A)\a F(V)\otimes F(W)\otimes\otimes\xrightarrow{\mathrm{Id}\otimes(\varphi\otimes \epsilon+\epsilon\otimes\varphi)}F(V)\otimes F(W) $$ coincide con el mapa $$ F(V)\otimes F(W)\xrightarrow{\Delta_{V\otimes W}}F(V\otimes W)\otimes\xrightarrow{\sim}F(V)\otimes F(W)\otimes\xrightarrow{\mathrm{Id}\otimes\varphi}F(V)\otimes F(W). $$ La combinación de esta con la compatibilidad de la multiplicación en $A$ y el producto tensor, esta condición es equivalente a la condición de que $\varphi\circ m=\varphi\otimes \epsilon+\epsilon\otimes\varphi$. Este es el mismo como $$ \varphi(xy)=\varphi(x)\epsilon(y)+\epsilon(x)\varphi(y), $$ es decir, que $\varphi$ es una derivación en la identidad en $G$. El álgebra de Lie de un grupo que se identifica con las derivaciones a la identidad, por lo que llegamos a la conclusión de que endomorphisms $\varphi$ la satisfacción de su condición corresponden a los elementos de la Mentira álgebra de $G$.