Resolución de la ecuación de un número entero $a^3+b^3=a^2+72ab+b^2$

Question

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a;b)$ que satisfagan $$a^3+b^3=a^2+72ab+b^2.$$

Ya lo he resuelto dejando que $S=a+b$ , $P=ab$ . Entonces tengo $S^3-S^2=(3S+70)P$ que dará lugar a $3S+70$ dividiendo $5110S$ o $357700$ es divisible por $3S+70$ . El resultado es $(a;b)\in\left\{(1;9),(9;1),(37;37)\right\}$ .

Sin embargo, esta estrategia es extremadamente complicada y requiere mucho tiempo, al enumerar todos los divisores de $357700$ . No conozco otra forma de acceder a este problema. Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que $d = (a, b)$ , $a = da_0$ , $b = db_0$ entonces $(a_0, b_0) = 1$ y $$ a^3 + b^3 = a^2 + 72ab + b^3 \Longleftrightarrow d(a_0 + b_0)(a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2) = a_0^2 + 72a_0 b_0 + b_0^2, \tag{1} $$ lo que implica $a_0 + b_0 \mid a_0^2 + 72a_0 b_0 + b_0^2$ . Porque $$ (a_0^2 + 72a_0 b_0 + b_0^2) - (a_0 + b_0)(a_0 + 71b_0) = -70b_0^2 $$ y $(a_0 + b_0, b_0) = 1$ entonces $a_0 + b_0 \mid 70$ .

De (1) se desprende también $a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 \mid a_0^2 + 72a_0 b_0 + b_0^2$ . Porque $$ (a_0^2 + 72a_0 b_0 + b_0^2) - (a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2) = 73a_0 b_0, $$ y $(a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2, a_0) = (b_0^2, a_0) = 1$ , análogamente $(a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2, b_0) = 1$ entonces $$ a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 \mid 73 \Longrightarrow a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 = 1 \text{ or } 73. $$

Si $a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 = 1$ entonces $$ 1 = a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 \geqslant \frac{1}{2} (a_0^2 + b_0^2) \Longrightarrow a_0^2 + b_0^2 \leqslant 2 \Longrightarrow a_0 = b_0 = 1,\ d = 37, $$ así $(a, b) = (37, 37)$ . Si $a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 = 73$ , denotan $s = a_0 + b_0$ entonces $$ \frac{s^2}{4} \leqslant a_0^2 - a_0 b_0 + b_0^2 = 73 < s^2 \Longrightarrow 8 < s < 18. $$ Tenga en cuenta que $s \mid 70$ Por lo tanto $s = 10$ o $14$ . Si $s = 10$ entonces $$ a_0^2 - a_0(10 - a_0) + (10 - a_0)^2 = 73 \Longrightarrow a_0 = 1 \text{ or } 9,\ d = 1, $$ así $(a, b) = (1, 9)$ o $(9, 1)$ . Si $s = 14$ entonces $$ a_0^2 - a_0(14 - a_0) + (14 - a_0)^2 = 73 \Longrightarrow a_0 = 7 \pm \sqrt{22}, $$ una contradicción. Por lo tanto, $(a, b) = (1, 9),\ (9, 1),\ (37, 37)$ .

Answer 2

Dejemos que $a=x+y, b=x-y$ . Entonces: $$a^3+b^3=a^2+72ab+b^2 \Rightarrow \\ (x+y)^3+(x-y)^3=(x+y)^2+72(x+y)(x-y)+(x-y)^2 \Rightarrow \\ 2x^3+6xy^2=2x^2+72x^2 -72y^2+2y^2 \Rightarrow \\ y^2=\frac{(37-x)x^2}{35+3x}\ge 0.$$ Tenga en cuenta que: $$x=\frac{a+b}{2}>0 \ \ \text{and} \ \ 37-x\ge0 \Rightarrow 0<x\le 37.$$ Uno puede comprobar rápidamente (si no el análisis posterior) todos los números para encontrar: $(x,y)=(5,4),(37,0)$ .

Por lo tanto: $$(a,b)=(9,1),(37,37) \ \ \text{and} \ \ (1,9) \ \text{(due to symmetry)}.$$