Paradoja sobre el volumen de un cilindro.

Question

Tratando de aplicar Cavalieri del método de los indivisibles para calcular el volumen de un cilindro con un radio de $R$ y la altura de la $h$, me sale el siguiente paradójico argumento.

Un cilindro con un radio de $R$ y la altura de la $h$ puede ser visto como un sólido obtenido por la rotación de un rectángulo con altura de $h$ y base $R$ sobre su altura. Por lo tanto, el volumen del cilindro puede ser pensado como hecho de una infinidad de áreas de estos rectángulos de espesor infinitesimal girar para $360^\circ$; por lo tanto, el volumen de $V$ del cilindro si el área del rectángulo $A_\text{rect} = R \cdot h$ multiplicado por la circunferencia del círculo de rotación $C_\text{circ} = 2\pi R$: \begin{align} V = A_\text{rect} \cdot C_\text{circ} = 2 \pi R^2 \cdot h \end{align}

Por supuesto, el derecho de volumen de un cilindro con un radio de $R$ y la altura de la $h$ es \begin{align} V = A_\text{circ} \cdot h = \pi R^2 \cdot h \end{align} donde $A_\text{circ} = \pi R^2$ es el área del círculo de la base del cilindro.

Pregunta: ¿Dónde está el error en mi anterior argumento basado en infinitesimals?

Answer 1

¿Dónde está el error en mi anterior argumento basado en infinitesimals?

El error está aquí:

Por lo tanto, el volumen del cilindro puede ser pensado como hecho de una infinidad de áreas de estos rectángulos de espesor infinitesimal girar en 360°.

Si usted aproximado del cilindro con las áreas de una finito espesor puede ver que estas "áreas de estos rectángulos de espesor ..." no son cuboides pero prismas triangulares.

El volumen de un prisma triangular, sin embargo, no $A_\text{rect}\cdot l$ pero sólo $\frac 1 2 A_\text{rect}\cdot l$.

Por lo tanto, usted tiene que calcular: $V=\frac 1 2 A_\text{rect}\cdot C_\text{circ}$

... que conduce a la correcta para el volumen de un cilindro.

Answer 2

La rotación contribuye al volumen por $2\pi R$ sólo para el lado del rectángulo que es lo contrario a su eje de rotación. La circunferencia de la cubierta por cada punto del rectángulo depende de su distancia al eje de rotación.

Mantener un infinitesimal enfoque, pensar en el rectángulo como se hecha de una infinidad de líneas verticales de espesor infinitesimal $dr$ a una distancia $r$ (con $0 \leq r \leq R$) respecto al eje de rotación. Cada línea vertical (o infinitesimal rectángulo) gira para $2\pi r$, por lo que su contribución al volumen del cilindro es $dV = h \cdot dr \cdot 2 \pi r$. Por lo tanto, el volumen del cilindro es la suma infinita de tales infinitesimal volúmenes, es decir, \begin{align} V = \int dV = 2 \pi h \int_0^R r dr = 2 \pi h \left[\frac{r^2}{2} \right]^R_0 = \pi R^2 h. \end{align}

Answer 3

Está asumiendo que todos los puntos siguen una trayectoria circular de circunferencia $2\pi R$ . Pero esto es incorrecto, $2\pi r$ va de $0$ a $2\pi R$ linealmente, y su valor promedio sobre el rectángulo es $\pi R$ .

Answer 4

Esto sucede por la misma razón, para los que ocurre lo siguiente:

Si usted aplica su método para derivar la fórmula del área del círculo, consigue $r 2 r \pi = 2r^2\pi$, incluso a pesar de que la fórmula correcta es $r^2\pi$.

La cosa es que, Cavalieri del método funciona de manera intuitiva cuando todos los puntos de la "barrer" el objeto de viajar a la misma distancia (más evidente cuando se traducen). Con la rotación, sin embargo, cada punto de la distancia de viaje depende de su distancia desde el eje de rotación.

Considere la posibilidad de un punto de $t \in [0, r]$. La distancia a recorrer $D(t)$ de $t$, bajo una rotación completa es $D(t) = 2 t \pi$. Su camino es el círculo de radio $t$, no $r$ (a menos que $t = r$). Mi creencia intuitiva es que la fórmula correcta puede ser expresado así como integral $$\int\limits_0^rD(t)dt = \pi\int\limits_0^r 2 t dt = \pi(r^2 - 0) = \pi r^2$$

Es fácil ver que similar razonamiento se puede aplicar para el caso del cilindro. Sin duda, este tipo de trae su problema más en el cálculo integral, en lugar de Cavalieri del principio, que se dirige principalmente a la recta de la línea de barrido de las rutas de todos modos.

Answer 5

Otra forma de ver el error es que en el punto en que se multiplican $A_{rect}$ con una longitud de curva, esta longitud no debe ser de la circunferencia del cilindro (¿qué es eso de la circunferencia en la aplicación general de Cavallieri?), pero debe ser la longitud de la curva que el centro de masa de los fragmentos de rastros. Como que es un círculo en la mitad de la radio, se obtiene el volumen correcto $$V=A_{rect}\cdot C_{center}=Rh⋅2\pi\frac{R}2=\pi R^2 h.$$

En general, este enfoque requiere que ninguna de las intersecciones de los cortes se producen, es decir, la extensión de los cortes debe ser menor que el radio de curvatura del centro de masa de la curva.