¿El análisis real y complejo está relacionado de alguna manera?

Question

Yo estaba viendo un video y el profesor o profesora explica la función

$$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{0}^{\infty} {(-1)^n x^{2n}}$$ $$|x| < 1$$

explicando que el radio de convergencia de esta serie de Taylor centrada en $x=0$ es 1 porque está siendo afectado por $i$ e $-i$. Entonces, él va a hablar sobre la manera en que el análisis es una visión de análisis complejo.

En el mismo vídeo, el profesor también se proporciona el siguiente ejemplo donde una función compleja se define por el uso real de la serie de Taylor:

\begin{align} e^{ix} &= \cos(x) +i \sin(x) \\ &= \sum_0^\infty \frac{(ix)^n}{n!} \\ &= \sum_0^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!} + i \sum_0^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{align}

Alguien puede ayudar a elaborar por lo que el profesor probablemente significaba? ¿Cuál es la conexión entre el análisis real y complejo análisis?

Entiendo que hay dos tipos diferentes de analiticidad: real analítica y complejo analítica. Están conectadas?

Answer 1

Real analiticidad y complejo analiticidad puede ser definida como "localmente dada por una convergente de alimentación de la serie". En el caso complejo, hay varias definiciones equivalentes que, a primera vista, un aspecto bastante diferente. La diferenciabilidad es uno de ellos; la integral de Cauchy fórmula es otro. (En el mundo de los números reales, la diferenciabilidad (incluso infinito, la diferenciabilidad) es mucho más débil que la analiticidad, y no hay analógica de la integral de Cauchy de la fórmula.)

Real de la analítica de la función, por ejemplo, con dominio de analiticidad $D\subseteq\mathbb R$, es la restricción a $D$ de un complejo de la analítica de la función cuyo dominio de analiticidad en $\mathbb C$ incluye $D$. La prueba es sólo para el uso de la misma potencia de la serie, pero ahora con complejo de valores de la variable de entrada.

El material acerca de la $e^{ix}$ citado en la pregunta es el caso especial donde empezar con la función exponencial. Es analítica en toda la recta real, por lo que su potencia de la serie de expansiones acerca de varios números reales dan un complejo de la analítica de la extensión de un dominio en $\mathbb C$ que incluye a $\mathbb R$. La función exponencial, sin embargo, es extraordinariamente agradable, en la que su poder de expansión de la serie en torno a un único punto, por ejemplo, la expansión de la $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$ todo $0$, tiene una infinidad de radio de convergencia, por lo que al enchufar en el complejo de los valores de $x$, obtenemos un complejo de la analítica de la función definida en todos los de $\mathbb C$. En particular, se puede conectar un imaginario puro valor $ix$ (con real $x$) en lugar de $x$ y obtener el poder de la serie de $e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}(ix)^n/n!$. El resto del material citado es sólo separando las partes real e imaginaria de esta suma. Los términos, incluso con $n$ tienen un poder de $i$ así que son reales, mientras que los términos con los impares $n$ tienen un extraño poder de $i$ así que son puramente imaginarios. Después de la separación de las partes real e imaginaria de esta manera, y factorizando $i$ de la parte imaginaria, se encuentra que la parte real es, simplemente, el poder de la serie de) $\cos x$ y la parte imaginaria es $i\sin x$.

Answer 2

Así, dada una función real (de x), en sustitución de x con una variable compleja, generalmente z, tenemos una función compleja. Esto es particularmente cierto con Taylor/Laurent de la serie. Sin embargo, esta relación se toca sólo la superficie de análisis real y complejo análisis, y muy superficial. Porque de una variable compleja tiene dos cantidades variables independientes: la parte real y la parte imaginaria, la derivability es muy restringido, y especifica la forma de Cauchy-Riemann condición, que a su vez es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (dos ecuaciones con dos funciones) que tiene una única solución bajo ciertas condiciones de contorno. Esto hace que la analítica de funciones complejas muy restrictiva, y que nos trae el teorema de único continuación analítica. Otra cosa acerca de la complejidad del análisis es parte integrante de alrededor de un poste, que resuelve un montón de cálculos, por no mencionar los menos. Por otro lado, porque no disfrutar de la perfecta como las propiedades de la de Cauchy-Riemann condición nos lleva, el análisis real se va al otro extremo: el de la investigación en la más delicada estructura fina de las funciones reales; cosas como el conjunto de Cantor, Dirichletian función, la integral de Lebesgue, para mencionar algunos.