7 pescadores pescaron exactamente 100 peces y no hubo dos que pescaran el mismo número de peces. Luego hay tres que han capturado juntos al menos 50 peces.

Question

$7$ los pescadores capturaron exactamente $100$ y no hay dos que hayan capturado el mismo número de peces. Demuestra que hay tres pescadores que han capturado juntos al menos $50$ pescado.

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Inténtalo: Supongamos que $k$ el pescador capturado $r_k$ peces y que tenemos $$r_1<r_2<r_3<r_4<r_5<r_6<r_7$$ y que $r(ijk) := r_i+r_j+r_k$ . Supongamos ahora que $r(ijk)<49$ para todos los triples $\{i,j,k\}$ . Entonces tenemos $$r(123)<r(124)<r(125)<r(345)<r(367)<r(467)<r(567)\leq 49$$ así que $$300\leq 3(r_1+\cdots+r_7)\leq 49+48+47+46+45+44+43= 322$$

y ninguna contradicción. ¿Alguna idea de cómo resolver esto?

Editar: En realidad tenemos desde $r(5,6,7)\leq 49$ que $r(4,6,7)\leq 48$ y $r(3,6,7)\leq 47$ y luego $r(3,4,5)\leq r(3,6,7) - 4 \leq 43$ y $r(1,2,5)\leq r(3,4,5)-4\leq 39$ y $r(1,2,4)\leq 38$ y $r(1,2,3)\leq 37$ por lo que tenemos:

$$300\leq 49+48+47+43+39+38+37= 301$$ pero de nuevo ninguna contradicción.

Answer 1

Vamos a trabajar con los cuatro números más bajos en lugar de las otras sugerencias.

Suponiendo que haya un contraejemplo, entonces los cuatro más bajos deben sumar al menos $51$ (si no, los tres más altos suman $50$ o más).

Desde $14+13+12+11=50$ los cuatro números más bajos tendrían que incluir un número al menos igual a $15$ para obtener un total tan grande como $51$ .

Entonces los tres mayores números deben ser al menos $16+17+18=51$ , lo cual es una contradicción con la suposición de que existe un contraejemplo.

Los ejemplos $18+17+15+14+13+12+11=100$ y $19+16+15+14+13+12+11=100$ muestran que el límite es ajustado.

Answer 2

Si el número máximo de peces capturados es $m$ entonces el número total de peces capturados no es superior a $m+(m-1)+...+(m-6)$ . Por tanto, hay un pescador que ha capturado al menos 18 peces. Repite este proceso para el segundo y tercer mayor número de peces capturados y deberías estar bien.

Debo añadir que esta es una técnica de prueba común en combinatoria y teoría de grafos. Para demostrar que existe algo con una determinada propiedad, se elige el "extremo" de ese algo, y se demuestra que la propiedad se cumple para el objeto extremo. Por ejemplo, para demostrar que en un grafo en el que cada vértice tiene un grado mínimo $d$ existe un camino de longitud mínima $d$ y una prueba comienza simplemente mostrando que un camino máximo tiene una longitud de al menos $d$ .

Answer 3

Creo que tengo una solución. Primero hay que tener en cuenta que si $r_4 \geq 15$ entonces tenemos:

$r_5 \geq 16$

$r_6 \geq 17$

$r_8 \geq 18$

así que $r_5 + r_6 + r_7 \geq 16 + 17 +18 = 51$ que es imposible.

Por lo tanto, $r_4 < 15$

También hay que tener en cuenta que si $r_4 \leq 14$ entonces:

$r_3 \leq 13$

$r_2 \leq 12$

$r_1 \leq 11$

así $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 \leq 50$ lo que implica que $r_5 + r_6 + r_7 \geq 50$ por lo que no puede ser. Así que tenemos $r_4 > 15$ que es una contradicción.

Answer 4

Supongamos que no significa que no hay 3 pescadores que tengan más de 49

$\implies r5+r6+r7 ≤ 49$

$\implies r5 ≤ 15$

$\implies r5$ no puede ser superior a $15$ si fuera $16$ o superior, entonces el $r5+r6+r7≥ 16+17+18=51$ y eso contradice la primera suposición de que $r5+r6+r7 ≤ 49$

Por lo tanto, $r5 ≤ 15$

Pero $r1<r2<r3<r4<r5<r6<r7$

media $r4 ≤14$ & $r3 ≤13$ & $r2 ≤12$ & $r1 ≤11$

$\implies r1 + r2 + r3 + r4 ≤ 11 + 12 + 13 + 14$

$\implies r1 + r2 + r3 + r4 ≤ 50$

$\implies (r1 + r2 + r3 + r4) + (r5 + r6 + r7) ≤ 50 + 49 < 100$ (Contradicción)

Por lo tanto, al menos 3 pescadores juntos capturaron 50 peces o más

Answer 5

Utilizo un enfoque no tan matemático y una lógica simple. Si 7 pescadores capturan 100 peces juntos pero no hay 2 que capturen el mismo número de peces, empezaría por resolver la primera parte y luego ajustaría los números para satisfacer la segunda.

Parte 1: El número medio de peces capturados por pescador es $100/7 = 14.3.$ Sin embargo, asumo que los peces fraccionados no están permitidos, así que redondeemos a 14. $7*14=98$ .

Parte 2: Usaré 14 como punto medio y como hay un número impar de pescadores, podemos decir $11,12,13,14,15,16,17$ es una forma de obtener 98 peces totales capturados de manera que no haya dos pescadores que capturen el mismo número de peces. Sin embargo, nos faltan 2, así que aumentamos los 16 a 18, de modo que ahora tenemos $11,12,13,14,15,17,18$ que tiene a los 3 mejores receptores con 50 peces combinados. Si nos desviamos de la media de 14, por ejemplo, si hacemos que el pez más bajo sea el 10 en lugar del 11, los 3 primeros peces serán aún más altos que los 50, porque entonces tendremos un pez menos en el extremo inferior, que tendrá que ser compensado en el extremo superior, ya que no hay "huecos" en el "medio". Por ejemplo, 10,12,13,14,15,16,20. Ahora los 3 primeros receptores tienen 51 en lugar de 50. Este patrón continuará. No hay manera de evitarlo.