¿Cómo proceder haciendo teoría de números?

Question

Soy un estudiante de la licenciatura en matemáticas. Estando en primer año todavía estoy explorando nuevas ramas de las matemáticas y, hasta ahora, es el análisis y la teoría de los números que he llegado a tener un gran interés en, y ahora estoy estudiando ambos campos tanto como sea posible en mi cuenta y es la teoría de los números que me estoy encontrando difícil de explorar( por mi cuenta).

He hecho de todo , me encontré incluyendo nivel moderado de la resolución de problemas relacionados con los elementales de la teoría de números y como yo deseo estudiar más a fondo en un nivel más avanzado, he buscado en la red, pidió a las personas para el consejo sobre cómo puedo proceder para hacer eso, pero hasta ahora han llegado a conocer sólo cosas básicas como: nivel avanzado se divide en 2 partes: algebraica y analítica y el estudio analítico debe tener conocimientos de análisis complejo y básicos de álgebra abstracta sobre algebraicas NT.

En este punto , no tengo mucho conocimiento en Álgebra abstracta y saben mucho menos que en el análisis complejo, así que aquí va mi primera pregunta: yo Estoy en lo correcto en primer despejar mis conceptos básicos de análisis complejo ( para su análisis) y álgebra( para algebraicas). Si sí, entonces exactamente qué o cuánto debo saber tanto de estos temas para el estudio de estas dos ramas, a nivel avanzado. y, que libros me pueden seguir por ellos que no son demasiado difíciles para un principiante para mí?

A continuación, he mirado en el texto clásico de la teoría analítica de números por Tom Apostol, a menudo se recomienda para el estudio de la teoría Analítica de números y encontrar los primeros capítulos adecuado para un principiante, que no requiere requisitos previos de análisis. Por lo tanto, mi siguiente pregunta es: ¿en qué momento mientras yo estoy haciendo este o cualquier otro libro en la HORMIGA me requieren conocimientos en análisis( complejo).

La última pregunta: El método que voy a seguir en el estudio y la exploración de nuevos campos de interés en las Matemáticas ( es decir, de estudiar en detalle estos dos campos al mismo tiempo, hasta que llegue a un punto en el que me he enterado de cual de estos dos me interesan más, y el estudio que uno más). ¿Es lo correcto? Si no, entonces ¿cómo debo estudiar?
Ahora, no puedo pensar más preguntas de las que tenía que pedir, así que voy a parar aquí. Gracias a todos los que tuvieron la paciencia de leer mi consulta y se hizo un intento de respuesta, de antemano.

Answer 1

Si ya ha aprendido teoría de grupos, le sugiero que lea el libro 'Teoría de los números algebraicos' de Pollard & Diamond. Es un muy buen tratado para empezar. Ni siquiera necesita saber la definición de anillo para leer este libro. Todo está dado allí en una muy buena configuración. Después de haber terminado ese libro, puedes echar un vistazo a 'Una introducción clásica a la teoría de los números moderna' por Ireland & Rosen.

Answer 2

Algunos comentarios a tus preguntas:

Estoy bien en el primer despejar mis conceptos básicos de análisis complejo (para su análisis) y álgebra( para algebraicas)?

Sí, tienes razón. Una base sólida de los conceptos fundamentales de álgebra y análisis complejo, al menos en un nivel moderado va a enriquecer sus estudios en la teoría de números.

Vamos a echar un vistazo por ejemplo a la Teoría Algebraica de números y el último teorema de Fermat una agradable y accesible de arranque para profundizar en la teoría algebraica de números. Los autores Ian Stewart y David Altura escribió el libro explícitamente con la intención de ser auto-contenida con todo lo necesario álgebra desarrollado en el libro. En consecuencia, se inicia con la primera sección I. 1 Algebraica de Fondo: Anillos y Campos de extensión de Campo, Libre de Abelian Grupos, etc.

Yo agradezco este libro y lo recomiendo como el adecuado punto de partida para los principiantes. Pero a pesar de ser auto-contenida con respecto al álgebra que, sin embargo, la ganancia considerable a la rentabilidad cuando usted ya tiene una cierta familiaridad con el álgebra abstracta. Va a hacer un mejor progreso porque se puede poner el foco en el mayor número de aspectos teóricos. Cuando el aprendizaje de álgebra abstracta sólo en passant , mientras que la lectura de la teoría algebraica de números es casi imposible conseguir una impresión correcta de la algebraicas marco reduciendo así la aha de experiencias y la reducción de placer!

Un buen texto introductorio de álgebra abstracta es Un Primer Curso de Álgebra Abstracta de Juan B. Fraileigh.

Los mismos argumentos presionado para análisis complejos con respecto a la teoría analítica de números. Ya tenía una mirada al Apostol de la Introducción a la Teoría Analítica de números. Su segundo volumen de Modular las Funciones de Dirichlet y de la Serie en la Teoría de números tratar con funciones elípticas, las formas modulares, etc es complejo el Análisis desde el principio.

Uno de mis favoritos en el análisis complejo es Walter Rudins Real y el Análisis Complejo. Usted puede mirar primero en su clásico de Los principios de Análisis Matemático para obtener una mejor impresión de sus escritos.

¿En qué momento mientras yo estoy haciendo este o cualquier otro libro en la HORMIGA me requieren conocimientos en análisis( complejo)?

En mi opinión, siempre que el estudio de propiedades analíticas de las funciones de resp. de la serie, un sólido conocimiento de conceptos básicos en el análisis complejo es útil. Esto es independiente del estudio de la teoría de números. Un muy sencillo ejemplo: Si nos fijamos en la expansión de la serie de $\frac{1}{1+x^2}$ el radio de convergencia es igual a $1$. Usted puede ver que cuando se considera el dominio de la naturaleza de la función.

La última pregunta: El método que voy a seguir en el estudio y la exploración de nuevos campos de interés en las Matemáticas ( es decir, de estudiar en detalle estos dos campos al mismo tiempo, hasta que llegue a un punto en el que me he enterado de cual de estos dos me interesan más, y el estudio que uno más). ¿Es lo correcto? Si no, entonces ¿cómo debo estudiar?

Su enfoque se ve buena y prometedora. Sólo para hacer algunas de las cosas más fácil para usted, usted puede visitar paralelo a su número de estudios teóricos, al menos, un curso de un semestre (mejor dos) en el álgebra y/o análisis complejos combinados con los tutoriales (muchos de los ejercicios son cruciales).