¿$f(x)=\tanh(1+\tanh^{-1}(x))$ o$f:\tanh(x) \to \tanh(x+1)$ es una función racional?

Question

Esto es (de nuevo) más de recreo/cuestión incidental.

Jugando con la iteración de funciones que considera la función $$ f(x) = \tanh(1+\tanh^{-1}(x)) \tag1$$ such that $$ f : \tanh(x) \to \tanh(x+1) \tag 2$$ Pari/GP es tan amable de proporcionar los primeros coeficientes de Taylor de la serie de $f(x)$ numéricamente. $$ f(x) \sim 0.7615941559557649 + 0.4199743416140261 x - 0.3198500042246123 x^2 \\ + 0.2435958939998914 x^3 - 0.1855212092851373 x^4 + 0.1412918687974069 x^5 \\ - 0.1076070615601738 x^6 + 0.08195290922380060 x^7 - 0.06241485672841984 x^8 \\ + O(x^9) $$

Observando los coeficientes me parecía que dan sólo una alternancia de serie geométrica con cociente $q=-\tanh(1)$ y un factor de escala $a = \frac 1q - q$ tal que -por numéricos heurístico - el poder de la serie de $f(x)$ es $$f(x) \underset{\text{guessed}}{=} -q + a \sum_{k=1}^\infty q^k x^k \tag 3$$ which reduces then to the rational function $$ f(x) \underset{\text{guessed}}{=} { a \over 1-x\cdot q }- \frac 1q \tag 4$$

Me sorprende que esto se traduce en una simple función de cómo sería una prueba de la identidad algebraica (4) ?

Answer 1

ps

ps

ps

Answer 2

Aquí, utilizamos las expresiones alternativas.

ps

El primero es válido en$$\mathrm{arctanh}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \quad \text{and} \quad \tanh(x)=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$ y el último es válido en todos los$\vert x \vert < 1$. La manipulación algbraica ahora da$\mathbb{C}$ $ al menos para$$\tanh(1+\mathrm{arctanh}(x))=\frac{x+e^2 (x+1)-1}{-x+e^2 (x+1)+1}=\frac{x(e^2+1)+e^2-1}{x(e^2-1)+e^2+1},$. Este resultado puede continuar analíticamente, por supuesto.

Answer 3

Si es cierto para la tangente ordinaria, es cierto para la tangente hiperbólica (debido a$\tan(ix)=\pm i \tanh(x)$ (para alguna elección del signo que no necesito recordar para responder la pregunta).

Y$\tan(x+a)$ es de hecho una función racional de$\tan x$ y$\tan a$, por la fórmula de adición familiar para tangente.

De esta manera podemos prever que existirá una expresión de función racional, y un poco de cuidado con los signos precisará cuál es la fórmula.