La siguiente es una pregunta de Hatcher "Topología Algebraica":
Deje $X$ ser un espacio tal que $X$ es la unión de $n$ abrir conjuntos de $A_i$ con la propiedad de que cada intersección $A_{i_1}\cap \dots \cap A_{i_k}$ está vacío o ha trivial reducción de homología. Mostrar que $\tilde H_p(X)=0$$p\geq n-1$. Dar un ejemplo para cada una de las $n$ que muestra que este es el mejor posible obligado.
Yo no tenía problemas para probar la primera declaración con un poco de inducción y una fácil aplicación de Mayer Vietoris secuencia. Estoy teniendo una gran cantidad de problemas pensando en el ejemplo que se muestra es la mejor obligado posible, sin embargo
Para cada una de las $n$, debo encontrar un espacio de $X$ que puede ser descompuesto en $n$ abierto conjuntos tales que todas las posibles intersecciones de estos conjuntos es vacío o han trivial reducción de homología. En particular, se trata de abrir los conjuntos deben tener trivial reducción de homología, si estoy entendiendo correctamente la pregunta. Además, debo tener una $H_{n-2}(X)\neq 0$.
Estoy teniendo problemas a pesar de venir con un espacio que ha trivial reducción de homología en todas las dimensiones. Estaba pensando en eso $\mathbb{RP}^n$ podría funcionar de alguna manera con su descomposición en las copias de los espacios proyectivos de menor dimensión, pero estos no están abiertos los conjuntos.
Cualquier sugerencias?
