Encuentre $z$ cuando $z^4=-i$ ?

Question

Considere $z^4=-i$ , encontrar $z$ .

Recordaría el hecho de que $z^n=r^n(\cos(n\theta)+(i\sin(n\theta))$

$\implies z^4=|z^4|(\cos(4\theta)+(i\sin(4\theta))$

$|z^4|=\sqrt{(-1)^2}=1$

$\implies z^4=(\cos(4\theta)+(i\sin(4\theta))$

$\cos(4\theta)=Re(z^4)=0 \iff \arccos(0)=4\theta =\frac{\pi}{2} \iff \theta=\frac{\pi}{8}$

Desde $z^n=r^n\cdot e^{in\theta}$ , $z^4$ se puede reescribir ahora como $z^4=e^{i\cdot4\cdot\frac{\pi}{8}} \iff z=e^{i\frac{\pi}{8}}$ Sin embargo, mi archivo de respuestas dice que esto es incorrecto. ¿Puede alguien darme una pista sobre cómo encontrar $z$ ?

Answer 1

el último paso, necesita $$-i = \cos(3\pi/2) + \sin (3\pi/2) = \cos (4 \theta) + i \sin(4 \theta) $$ que le dará $$4\theta = 3\pi/2, 3\pi/2 + 2\pi, 3\pi/2 + 4\pi, 3\pi/2 + 6\pi$$ ahora se puede resolver para $\theta.$

Answer 2

Puede verificar su solución

$$\left(e^{i\frac\pi8}\right)^4 = e^{i\frac\pi2} = i$$

por lo que es evidente que ha cometido algún error.

El error proviene de la línea

$$\cos(4\theta) = 0\iff \arccos(0) = 4\theta$$

lo que no es cierto para todos los valores de $\theta$ . Por ejemplo, $\cos(4\cdot \frac{3\pi}{8}) = 0$ aunque $\arccos(0)\neq 4\cdot \frac{3\pi}{8}$ .

De hecho, hay cuatro soluciones distintas de $\theta$ para la ecuación

$$ \cos(4\theta) + i\sin(4\theta)= 0 + (-1)\cdot i$$

Una de estas soluciones se puede encontrar mediante el uso de la $\arcsin$ y $\arccos$ las otras se pueden encontrar al notar que se puede reemplazar $\theta$ con $\theta + \frac{2k\pi}{4}$ y sigue satisfaciendo la ecuación, siempre que $k\in\mathbb Z$ .

Answer 3

Recuerda que $-i = e^{i\frac{3\pi}{2}}$ entonces

$$ z^4 = -i = e^{i\frac{3\pi}{2}}$$

La n $^{\text{th}}$ raíz de un número complejo es

$$z^n = re^{i\varphi} \implies z_k = r^{1/n}e^{i\left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n} \right)} \qquad \text{where} \quad k = 0, \dots, n-1$$

En su caso:

$$z_0 = e^{i\left(\frac{3\pi}{8} + 0 \right)} = (r, \varphi_0) = \left(1, \frac{3 \pi}{8}\right)$$ $$z_1 = e^{i\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{2\pi}{4} \right)} = (r, \varphi_1) = \left(1, \frac{7 \pi}{8}\right)$$ $$z_2 = e^{i\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{4\pi}{4} \right)} = (r, \varphi_2) = \left(1, \frac{11 \pi}{8}\right)$$ $$z_3 = e^{i\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{6\pi}{4} \right)} = (r, \varphi_3) = \left(1, \frac{15 \pi}{8}\right)$$

Answer 4

Tenemos $z^4=e^{3\pi i/2+2k\pi}$ .

Así que $z=(e^{3\pi i/2+2k\pi})^{1/4}=e^{3\pi i/8+k\pi/2}$

Como $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2\pi)}$ El $4$ valores de $z$ son $e^{3\pi i/8}, e^{7\pi i/8}, e^{11\pi i/8}, e^{15\pi i/8}$ .