Para un$1$ - forma$h$, ¿por qué$\int_\Gamma \varphi^*h=\int_{\varphi\circ\Gamma}h$?

Question

Estoy tratando de entender por qué para un diferenciable arc $\Gamma:[a,b]\to\Omega$ $1$forma $h=fdx+gdy$, luego $$ \int_\Gamma\varphi^*h=\int_{\varphi\circ\Gamma}h? $$

Para el fondo, $\Omega$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, e $\varphi:\Omega\to\mathbb{C}$ un suave mapa. Para una función de $f$, tengo la definición de $\varphi^*f=f\circ\phi$, (cuando esto tiene sentido para $f$ del curso).

También tengo las definiciones $$ \varphi^*\,dx=\frac{\partial u}{\partial x}\,dx+\frac{\partial u}{\partial y}\,dy, \qquad \varphi^*dy=\frac{\partial v}{\partial x}\,dx+\frac{\partial v}{\partial y}\,dy, $$ donde $u$ $x$ componente de $\varphi$ $v$ $y$ componente. Para un $1$forma $h=f\,dx+g\,dy$, $$ \varphi^*h=(\varphi^*f)\varphi^*\,dx+(\varphi^*g)\varphi^*\,dy. $$

Tengo que calcular \begin{align*} \int_\Gamma \varphi^*h &= \int_\Gamma(\varphi^*f)\varphi^*dx+\int_\Gamma (\varphi^*g)\varphi^*dy\\ &= \int_\Gamma(f\circ\varphi)\frac{\partial u}{\partial x}dx+ \int_\Gamma(f\circ\varphi)\frac{\partial u}{\partial y}dy+ \int_\Gamma(g\circ\varphi)\frac{\partial v}{\partial x}dx+ \int_\Gamma(f\circ\varphi)\frac{\partial v}{\partial y}dy\\ &= \int_\Gamma\left((f\circ\varphi)\frac{\partial u}{\partial x}+(g\circ\varphi)\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx+\int_\Gamma\left((f\circ\varphi)\frac{\partial u}{\partial y}+(g\circ\varphi)\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy \end{align*}

pero no veo si esto encaja en la forma $\int_{\varphi\circ\Gamma}h=\int_{\varphi\circ\Gamma}fdx+\int_{\varphi\circ\Gamma}gdy$? Puede ser hecho para encajar? Gracias.

Answer 1

Con respecto a su primera pregunta, podemos notar que$\int_{\Gamma} \phi ^\ast h=\int_{a}^{b}\Gamma ^\ast \phi ^\ast h =\int_{a}^{b}h\circ\phi \circ \Gamma =\int_{a}^{b}(\phi\circ\Gamma)^\ast h=\int_{\phi \circ\Gamma}h$. También tenga en cuenta que$\phi^\ast dx=d\phi_{x}$, y también para$d\phi_y$, lo que implica que$\phi \ : (x,y) \rightarrow(u,v)$ es un cambio de variables. Esperemos que esto ayude!

Answer 2

Las cosas se vuelven mucho más claras cuando usa nombres diferentes para las variables: tiene una curva$\Gamma:\ t\mapsto \bigl(x(t),y(t)\bigr)$ en el plano$(x,y)$ -, un mapa$\phi:\ (x,y)\mapsto (u,v)$ y un$1$ - forma$\omega$ en el$(u,v)$ - plano dado como$$\omega=f(u,v)du + g(u,v)dv\ .$ $ Luego$$\phi^*f=f\circ\phi,\quad \phi^*g=g\circ\phi,\quad \phi^*du=u_xdx + u_y dy,\quad \phi^*dv=v_x dx+v_y dy\ ,$ $ y$\phi^*\omega$ se convierte en$$\phi^*\omega=\bigl((f\circ\phi)u_x+(g\circ\phi)v_x\bigr)dx + \bigl((f\circ\phi)u_y+(g\circ\phi)v_y\bigr)dy=:p(x,y)dx + q(x,y)dy\ .$ $ por lo tanto$$\int_\Gamma \phi^*\omega=\int_a^b\bigl(p(x(t),y(t))\dot x(t) + q(x(t),y(t))\dot y(t)\bigr)dt=\ldots$ $ y escribiéndolo all out le permite interpretar la integral resultante como$\int_{\phi(\Gamma)} \omega$.