Pregunta de ejemplo de categoría (Hungerford)

Question

Deje $F$ libre de objetos en el conjunto de $X$ ( $i:X\rightarrow F$ ) en una concreta categoría $\mathcal{C}$. Definir una nueva categoría de $\mathcal{D}$ como sigue. Los objetos de $\mathcal{D}$ están todos los mapas de los conjuntos de $f:X\rightarrow A$ donde $A$ es (el conjunto subyacente de) un objeto de $\mathcal{C}$. Una de morfismos en $\mathcal{D}$ $f:X\rightarrow A$ $g:X\rightarrow B$está definido para ser una de morfismos $H:A\rightarrow B$ $\mathcal{C}$ de manera tal que el diagrama de desplazamientos, es decir,$hf=g$.

Este es sólo un ejemplo de alguna categoría en Hungerford libro de texto de álgebra. Estoy tratando ahora a mostrar como un ejercicio para mí que $\mathcal{D}$ es una categoría. Veo que tiene un conjunto de objetos $$\mathrm{Ob}(\mathcal{D})=\{ f:X\rightarrow A \mid A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),\, f \text{ is a set map}\}$$ y si tenemos $f,g \in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ $f:X\rightarrow A$ $g:X\rightarrow B$ $$\mathrm{Hom}(f,g)=\{ h:A\rightarrow B \mid h\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B) \text{ where } hf=g\}.$$ (Abusando de establecer la notación al menos para $\mathrm{Ob}(\mathcal{D})$.)

Requerimos $\mathrm{Hom}(f,g)\cap \mathrm{Hom}(h,k)=\varnothing$ si $(f,g)\neq(h,k)$.

Decir $\phi \in \mathrm{Hom}(f,g)\cap \mathrm{Hom}(h,k)$ donde $$f:X\rightarrow A,\, g:X\rightarrow B,\, h:X\rightarrow C,\, k:X\rightarrow D.$$ Entonces, por definición de $\mathrm{Hom}(f,g), \mathrm{Hom}(h,k)$, $\phi \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)\cap \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(C,D)$ así que tenemos una contradicción, a menos $A=C$$B=D$. Mi objetivo ahora es mostrar que $f=h$ $g=k$ menos que me malentendido algo en el camino. Aquí es donde yo estoy tratando de averiguar como esta de la siguiente manera. Así que tengo conmutativa diagramas $\phi f=g$, $\phi h=k$. Entonces como $F$ es gratis en la $X$, tengo mapas únicos $\overline{f},\overline{h}\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F,A)$ donde $\overline{f}i=f$ $\overline{h}i=h$ e la misma manera hay mapas únicos $\overline{g},\overline{k}\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F,B)$ tal que $\overline{g}i=g$$\overline{k}i=k$. ¿Cómo hace uno para demostrar que los conjuntos deben ser disjuntos?

Answer 1

Así, en un sentido, formalmente, está absolutamente en lo cierto.

Sin embargo, no es tan estricto. O es sólo una vaga uso de símbolos, o la definición exacta de la categoría en el contexto de la realidad no requieren la disjointness de distintas homsets.

Si se requiere que tenemos que definir morfismos de $\mathcal D$ triples $\langle f,h,g\rangle\ \in \hom(f,g)$, por supuesto, que satisfacen $hf=g$. De taquigrafía, como dominio y codominio son siempre claras en el contexto, nos permite escribir $h:f\to g$ en lugar de $\langle f,h,g\rangle:f\to g$...