Deje que$M$ y$N$ sean Manifolds Riemannianos, por ejemplo, de la misma dimensión$d$, y que$W^{1,p}(M,N)$ sea el espacio de los mapas de Sobolev con$p>d$ (para simplificar) . ¿Cuál sería una métrica "natural" para este espacio, que generalizaría la métrica estándar cuando$N$ es un espacio lineal?
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Thomas
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Una opción es utilizar una profunda y complicada) de resultado, el Nash isométrica de la incrustación y teorema de elegir un isométrico de la incrustación de $N\rightarrow \mathbb{R}^k$ para algunos lo suficientemente grande $k$, y el mirar esto como un supspace de $W^{1,p}(M, \mathbb{R}^k)$ Para que esto funcione, usted debe saber que la restricción a la imagen tiene sentido, es decir, requieren de la continuidad o posiblemente algunos más débil condición. La norma entonces dependerá de la elección de la incrustación.
Dependiendo de qué es exactamente lo que quiero hacer también podría ser una opción para trabajar con los diferentes espacios en total. Elíptica de la PDE, como un ejemplo, el espacio de funciones diferenciables con finito de Hölder norma de la más alta de los derivados es un buen espacio para trabajar. Para este tipo de espacios el colector de versiones son fáciles de definir y son de Banach colectores. La dificultad con estos proviene del hecho de que no son separables.
studiosus
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Además de utilizar Nash, puede utilizar normal coordenadas en $N$ como sigue:
Empezar con un localmente finito cubierta de $N$ normal bolas $B(a_i, r_i), i\in I,$ con respecto a la métrica de Riemann en $N$. Para cada bola tiene la logarítmica mapa $$ \log_{a_i}: B(a_i, r_i)\B({\mathbf 0}, r_i)\subconjunto T_{a_i}N. $$
Estos mapas no son isométrica, pero son isométricos en los centros de $a_i$ y se obtiene una mejor precisión de su red, $\{a_i\}_{i\in I}$ se vuelve más denso en $N$.
Extender estos mapas sin problemas para el resto de $N$ uso adecuado de bumping funciones, mapas $\phi_i: N\to {\mathbb R}^n$, $n=dim(N)$. Por lo tanto, se puede obtener una colección de composición de mapas $$ \Phi_i: W^{1,p}(M,N)\W^{1,p}(M, {\mathbb R}^n), i\I. en $$ Si $N$ es compacto y, por lo tanto, $I$ es finito, usted puede tomar, por ejemplo, $$ d(f, g)= \sum_{i\in I} ||\Phi_i(f)- \Phi_i(g))||_{1,p}. $$ Si $N$ es noncompact y $I$ es infinita, tiene muchos no equivalentes opciones, elegir uno dependiendo del problema que se está resolviendo.
De nuevo, dependiendo del problema, en lugar de la normal de coordenadas, puede utilizar armónico de las coordenadas.
Por supuesto, estas construcciones no canónicos, pero tampoco es el que utiliza la isométrica incrustaciones.
Por último, el uso de Nash (en conjunción con el tubular barrio teorema, que es una forma estándar para eliminar las dificultades mencionadas por Thomas) es bastante estándar, véase P. Hajlasz, Sobolev las asignaciones entre los colectores y la métrica de los espacios. En: Espacios de Sobolev en Matemáticas I. Sobolev tipo de Desigualdades pp 185-222. Internacional De Matemáticas De La Serie. Springer 2009. Sin embargo, personalmente, me resulta insatisfactoria, ya que depende de una muy implícita y "grandes" martillo (Nash isométrica de la incrustación teorema) y viola el espíritu de trabajar con colectores de "local".
