(puede ser una pregunta tonta pero), ¿Existen dos haces de fibras (o en particular haces vectoriales) cuyos espacios totales son iguales pero los espacios base son diferentes?
Respuestas
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Roy Malka
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Claro, considera el espacio $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}$ con las proyecciones $\pi_1: \mathbb{S}^1 \times \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$ (un haz de fibras trivial con fibra $\mathbb{R}$ ) y $\pi_2: \mathbb{S}^1 \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (un haz de fibras trivial con fibra $\mathbb{S}^1$ ). Para un ejemplo de haces vectoriales (triviales), tomemos que el espacio total es, digamos, $\mathbb{R}^3$ , escrito como un espacio de productos $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$ . De nuevo, las proyecciones naturales dan dos haces vectoriales sobre espacios base diferentes.
you
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1660
Dejemos que $G$ sea un grupo topológico, $H$ y $K$ subgrupos cerrados que admiten una sección transversal local (véase Steenrod, sección 7). Entonces $H\rightarrow G\rightarrow G/H$ y $K\rightarrow G\rightarrow G/K$ son haces de fibras.
En el ejemplo de Martin Wanvik, nuestro grupo topológico es $\mathbb{R}^3$ que comparte la muy buena propiedad de que $\mathbb{R}^3/\mathbb{R}^1\cong \mathbb{R}^2$ y viceversa.
jasonjwwilliams
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950
Para complementar el ejemplo de Samuel T, y para dar un ejemplo de su construcción, he aquí una familia de ejemplos que surgió mucho en mi tesis.
En primer lugar, un hecho general: si $H$ es un grupo de Lie compacto que actúa sobre una colector $M$ libremente (es decir, el único elemento de $H$ que fija cualquier punto de $M$ es el elemento de identidad), entonces el espacio orbital $M/H$ tiene la estructura de una colector liso de tal manera que la proyección $M\rightarrow M/H$ es un haz de fibras principal con la fibra $H$ .
Si $M = S^3\times S^3$ y $H = S^1\times S^1$ entonces hay acciones lineales de $H$ en $M$ con el cociente $S^2\times S^2$ o $\mathbb{C}P^2\sharp - \mathbb{C}P^2$ o $\mathbb{C}P^2\sharp \mathbb{C}P^2$ (y no son posibles otros cocientes), donde $-X$ denota $X$ con la orientación invertida. Así, podemos obtener tres bases diferentes mientras que los espacios totales y las fibras son los mismos (y las fibras conectadas, como quería Samuel T).
Si $M = S^3\times S^3\times S^3$ y $H = S^1\times S^1\times S^1$ entonces Totaro ha demostrado que existen infinitas bases diferentes de la forma $M/H$ incluso hasta la equivalencia racional de homotopía. Así que este es un ejemplo de infinitas bases diferentes para el mismo espacio total, la misma fibra, y con la fibra conectada.
Si se insiste en que las fibras estén simplemente conectadas, entonces la incrustación en bloque de $SU(2)$ en $SU(4)$ y la incrustación en bloque diagonal de $SU(2)$ en $SU(4)$ da lugar a 2 bases diferentes (hasta la homotopía), dando haces de fibras con espacio total $SU(4)$ y fibras $SU(2)$ (2 conectados), y diferentes bases.
Me parece que la pregunta sería más interesante si exigimos que la fibra, así como el espacio total, sean iguales (lo que podría estar oculto en la pregunta). Así que permítanme presentar tal ejemplo.
La fibra es la unión disjunta de dos puntos, digamos $G=\{\pm 1\}$ y el espacio total es la unión disjunta de dos círculos, $P=S^1\times\{\pm 1\}$ . Consideremos ahora dos acciones siguientes del grupo $G=\{\pm 1\}$ en $P$ (Sólo describo la acción de $-1$ y $1$ actúa de forma trivial) :
$\mathcal{A}_1(-1) : S^1\times\{\pm 1\} \rightarrow S^1\times\{\pm 1\}$ ; $(\theta,a)\mapsto(\theta,-a)$ y
$\mathcal{A}_2(-1) : S^1\times\{\pm 1\} \rightarrow S^1\times\{\pm 1\}$ ; $(\theta,a)\mapsto(\theta+\pi, a)$
donde $a$ puede ben $1$ o $-1$ y $S^1$ se ve como la línea real $\mathbf{R}$ cotizada por $2\pi\mathbf{Z}$ .
Ahora bien, esto da lugar a dos principales $G$ -bundles, uno con espacio de base $S^1$ (el que viene de $\mathcal{A}_1$ ) y uno con espacio base $S^1\times\{\pm 1\}$ (el que viene de $\mathcal{A}_2$ ).
Lamentablemente, no se me ocurre un ejemplo con una fibra conectada por el momento.
