Un problema de convergencia estrellas débiles mixtas

Question

Deje $\Omega\subset \mathbb R^N$ abierto acotado. Dada una secuencia de medida de Radón $(\mu_n)$ tal que $\mu_n\to \mu$ en débil estrella sentido en $\mathcal M_b(\Omega)$$\|\mu_n\|\nearrow \|\mu\|$. También se les da una función de $v\geq 1$ tal que $v\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$$l.s.c$. Supongamos $v$ tiene propiedades que no existe un Lipschitz continua secuencia $v_n$ tal que $1\leq v_n\leq v$ $v_n\nearrow v$ todos los $x\in\Omega$. Tenga en cuenta que $v$ puede no acotada arriba.

Suponga que existe una función de $u\in C(\Omega)$ tal que $u/v\in C_c(\Omega)$.

Mi pregunta: ¿tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\int_\Omega \frac{u}{v_n}\,d\mu_n = \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu $$

Yo:

Escrito $$ \int_\Omega \frac{u}{v_n}\,d\mu_n - \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu = \int_\Omega \frac{u}{v_n}\,d\mu_n - \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu_n+\int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu_n - \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu $$ Los últimos dos se va a 0 por la definición de una débil estrella de la convergencia. Pero no sé cómo lidiar con los dos primeros. Yo estaba tratando de usar convergencia dominada, pero no es obvio...

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Me doy cuenta de que desde $u/v\in C_c(\Omega)$ $v$ es finito una.e., hace $u$ tiene soporte compacto y por lo tanto $u$, $u/v_n\in C_c(\Omega)$ desde $u\in C(\Omega)$. Ahora, yo podría escribir unos pasos más... \begin{align*} \left|\int_\Omega \frac{u}{v_n}\,d\mu_n - \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu_n\right| &= \left|\int_\Omega u(1/v_n-1/v)\,d\mu_n\right|\\ &=\left|\int_\Omega u(1/v_n-1/v)\,d(\mu_n-\mu+\mu)\right|\\ &\leq \left|\int_\Omega u(1/v_n-1/v)\,d(\mu_n-\mu)\right|+\left|\int_\Omega u(1/v_n-1/v)\,d\mu\right| \end{align*} El último puede ser hecho por la convergencia dominada. Pero el primero...tal vez debería usar el hecho de que $\|\mu_n\|\to\|\mu\|$?

Sé que en general no debería esperanza $$ \lim_{n\to\infty}\int_\Omega \frac{u}{v_n}\,d\mu_n = \int_\Omega \frac{u}{v}\,d\mu $$ ya que requeriría de $u/v_n\to u/v$ uniforme que no tengo. Pero desde que en otros ha $0\leq 1/v\leq 1/v_n\leq 1$$\|\mu_n\|\to \|\mu\|$, puedo esperar que mi resultado es true.

Answer 1

Vamos a utilizar la versión de Fatou del Lexema dado aquí (https://en.wikipedia.org/wiki/Fatou%27s_lemma#Fatou.27s_Lemma_with_Varying_Measures). Esto indica que si tenemos $\mu_n (A) \to \mu(A)$ para todos los medible $A$ e si $(f_n)_n$ es una secuencia de no negativo de funciones medibles, entonces $$ \int \liminf_n f_n \, d\mu \leq \liminf_n \int f_n \, d\mu_n . $$ En su caso, esto es satisfecho, ya que asumen $\mu_n \to \mu$ débil de la estrella con respecto a $M_b$ (y en todos los indicadores de la función en $M_b$).

Pero esta declaración implica una agradable versión del teorema de convergencia dominada: Si tenemos $|f_n| \leq g$ $\int g \, d\mu_n \to \int g \, d\mu< \infty$ (por ejemplo, para cada acotado medible función de $g$) y $f_n \to f$ pointwise, a continuación,$\int f_n \, d\mu_n \to \int f \, d\mu$. De hecho, vamos a $h_n := 2g + |f_n -f|$. A continuación, $h_n \geq 0$ $h_n \to 2g$ pointwise, por lo que Fatou del lema de por encima de los rendimientos $$ \int 2g \, d\mu \leq \liminf_n \int h_n \, d\mu_n = \int 2g \, d\mu \limsup_n \int |f_n - f| \, d\mu_n $$ y así $$ \lim_n \int |f_n - f|\, d\mu_n = 0. $$ Además, si aplicamos Fatou del lexema con $h_n = g \pm f$ (nota:$h_n \geq 0$), obtenemos $$ \int g \pm f \, d\mu \leq \liminf_n \int g \pm f \, d\mu_n = \int g \, d\mu \pm \lim^\ast \int f_n \, d\mu_n, $$ con $\lim^\ast = \liminf$$\pm = +$$\lim^\ast = \limsup$$\pm = -$. Por lo tanto, $$ \int f \, d\mu \leq \liminf \int f_n \, d\mu_n \leq \limsup \int f_n \, d\mu_n \leq \int f \, d\mu, $$ es decir,$\inf f_n \, d\mu_n \to \int \int f \, d\mu$. Junto con lo anterior, esto implica $$ \int f_n \, d\mu_n \a \int f\, d\mu. $$ Esta es la versión del teorema de convergencia dominada que vamos a utilizar.

Ahora, queda por nota (desde $v_n \geq 1$) que $$ \bigg| \frac{u}{v_n}\bigg| \leq \Vert u \Vert_\sup \cdot \chi_K =: g, $$ donde $K$ es el apoyo de $u$. Desde todos los $\mu_n$ son de Radón, tenemos $\int g \, d\mu_n \to \int g \, d\mu < \infty$ ($g$ es acotado medible). Además, hemos pointwise convergencia. Ahora aplicar el teorema de convergencia dominada de arriba.