¿Por qué tenemos $\lim_nE(\inf_{k\geq n}X_k)\leq\liminf_nE(X_n)$ ?
Mi intento es que $\lim_nE(\inf_{k\geq n}X_k)= \liminf_nE(\inf_{k\geq n}X_k) \leq \liminf_nE(X_k) $ .
¿Estoy en lo cierto? Esto es parte de la prueba del lema de Fatou...
Se agradecería cualquier ayuda.
$\lim_n E(\inf_{k\ge n} X_k) = \liminf_n E(\inf_{k\ge n} X_k)$
Esto es cierto porque $\lim_n a_n=\liminf a_n$ para cualquier secuencia $a_n$ (donde $\lim_n a_n$ existe).
$\liminf_n E(\inf_{k\ge n} X_k)\le \liminf_n E(X_n)$
Esto es cierto porque $\inf_{k\ge n} X_k\le X_n$ Así que $E(\inf_{k\ge n} X_k)\le EX_n$ para todos $n$ lo que implica que la misma desigualdad es válida para el $\liminf$ (cuando $a_n\le b_n$ se deduce que $\liminf_n a_n\le \liminf_n b_n$ ).
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¿Qué paso no le parece del todo convincente?
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@Dap, gracias por el comentario. Yo diría que la primera igualdad que escribí... $\lim_n E(\inf_{k\geq n} X_k)= \lim_{n->\infty}\inf_{k\geq n}E(\inf_{k\geq n} X_k)$