Yo creo que si es suficientemente regular (es decir Lipschitz) delimitado el dominio $\Omega\subset\Bbb R^n$, entonces se puede extender a una función $u\in H^1_0(\Omega)$ por cero, y la extensión se encuentra en $H^1(\Bbb R^n)$.
Considerar la unbounded cuña $\Omega=\{(x,y)\in\Bbb R^2:- \infty<x<y,y>0\}$, y el subconjunto $\Omega_R=B_r(0)\cap\Omega$ algunos $R>0$ acotada.
Deje $\Gamma = \{(x,y)\in\overline{\Omega}_R:x^2+y^2=R^2\}$ (es decir, la plena curva límite) considerar el espacio $H^1_E(\Omega_R)=\{v\in H^1(\Omega_R):v|_{\Gamma}=0\}$.
Mi pregunta es ¿puedo extender una función de $u\in H^1_E(\Omega_R)$ por cero al conjunto de la $\Omega$, y tienen la extensión de la mentira en $H^1(\Omega)$?
Si esta o no mantenga sería genial escuchar un argumento de por qué/ por qué no.