Relacionado con otra pregunta (Si $n = 51! +1$ , entonces encuentra el número de primos entre $n+1,n+2,\ldots, n+50$ ) Me pregunto: ¿Con qué frecuencia es $n!+1$ ¿un primo?
Existe una secuencia OEIS relacionada A002981 Sin embargo, no se dice nada sobre si la secuencia es finita o no. ¿Alguien sabe más al respecto?
$n! + 1$ es primordial para $n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, \dots$ no se conoce ningún otro primo factorial a fecha de mayo de 2014. Véase aquí para más información sobre primos factoriales .
Tengo curiosidad, ¿cómo determinaron que 150209!+1 es primo? Me interesaría mucho saber cómo determinaron la primalidad de 150.000 números diferentes de un millón de dígitos...
Demostrar que un número p es primo es más fácil si se conoce la factorización completa de p+1 o p-1. ¡Y, por supuesto, la factorización de p-1 se conoce cuando p = n! + 1. Demostrar que un número general de ese tamaño es primo sería mucho más difícil.
Mirando primes.utm.edu/primes/page.php?id=102627 Parece que eso es lo que hizo Rene Dohmen, usando OpenPFGW.
Sólo mirando la heurística del problema:
Si eliges un número entero al azar $x$ será un número primo con una probabilidad aproximada de $1 / \ln x$ . Ahora el número $n! + 1$ no es un número entero aleatorio. Sabemos que $n! + 1$ no es divisible por ningún número primo $p n$ . Un número entero grande al azar no es divisible por ningún primo $p n$ con probabilidad $(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...$ que se trata de $1 / (2 \ln n)$ . Así que la probabilidad de que $n! + 1$ es un primo es en consecuencia mayor, alrededor de $2 \ln n / \ln (n!)$ .
Usando la fórmula de Stirling, $\ln (n!)$ se trata de $n \ln n - n$ o $n(\ln n - 1)$ . Así que $n!+1$ es primo con una probabilidad aproximada de $(2/n)/(1 - 1 / \ln n)$ .
El factor $(1 - 1 / \ln n)$ es bastante cercano a 1; el número de primos de la forma $n! + 1$ con $n M$ se trata de $2 \ln M$ . Concuerda muy aproximadamente con la lista de primos dada antes (creo que es una lista de conocido primos, con muchos números intermedios no examinados).
Estos números se denominan primos factoriales . Sólo se conoce un número limitado de estos números.
Los mayores primos factoriales se han descubierto recientemente. A partir de un anuncio de una organización llamada PrimeGrid PRPNet :
El 30 de agosto de 2013, la red PRPNet de PrimeGrid encontró el 2º mayor conocido primo factorial conocido: $$147855!-1$$ El primo es $700,177$ dígitos de longitud. El descubrimiento fue realizado por Pietari Snow (Lumiukko) de Finlandia utilizando un Intel(R) Core(TM) i7 CPU 940 a 2,93GHz con 6 GB de RAM ejecutando Linux. Este ordenador tardó poco más de 69 horas y 37 minutos en completar la prueba de primalidad.
PrimeGrid es un conjunto de proyectos basados en la computación distribuida y dedicados a encontrar primos que satisfagan diversas condiciones.
Acontecimientos recientes relacionados con los primores en PrimeGrid:
$147855!-1$ encontrado: anuncio oficial
$110059!+1$ encontrado: anuncio oficial
$103040!-1$ encontrado: anuncio oficial
$94550!-1$ encontrado: anuncio oficial
Otras actividades actuales de PrimeGrid:
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
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El $€100$ pregunta: ¿es cierto que $n!+1$ es primo para infinitos $n$ 's.
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Se esperaría que hubiera un número infinito de ellos, porque si los números de la forma n!+1 fueran aleatorios con respecto a la primalidad, entonces la probabilidad de que tal número fuera primo sería aproximadamente 1/log(n! + 1) que es aproximadamente 1/[n( log(n)-1)], la suma sobre n hasta el infinito diverge. Pero estos números no son exactamente aleatorios y, de hecho, es más probable que sean primos.
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/20001/
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También está relacionada la probabilidad de que el primor más uno sea un primo