Perdón por ser pedante... Me preguntaba si la analiticidad de una función compleja se considera una propiedad local. Aparentemente la diferenciabilidad se considera una propiedad local. Pero la analiticidad supone la diferenciabilidad no sólo en un punto, sino también en un entorno de ese punto. Entonces, ¿sería algo más que una propiedad local?
Respuestas
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Rob Jeffries
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La analiticidad es una propiedad local -- a diferencia de global y punto de vista (no me he encontrado con este último tipo muy a menudo, pero, por ejemplo, "ser cero" es puntual).
Se llama así porque no necesitamos conocer el comportamiento de nuestra función $f$ en todas partes para poder decidir si es analítico en un punto. Por otro lado, no podemos decidir si $f$ es analítica en $z$ mirando a $f(z)$ solo; necesitamos conocer la serie de potencias de $f$ que sólo puede obtenerse por diferenciación. Para esta operación, necesitamos conocer el comportamiento de $f$ localmente en un barrio de los alrededores $f$ . Por otro lado, para decidir la analiticidad en $z$ no necesitamos preocuparnos por lo que $f$ hace a una distancia razonable a $z$ porque es independiente de las derivadas de $f$ en $z$ -- como en el caso real.
Espero que esto aclare un poco las cosas.
Matt
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Esta es una pregunta interesante. Realmente no es una "propiedad local", ya que, si dos funciones analíticas coinciden en un conjunto abierto y tienen un dominio conectado común, deben coincidir globalmente.
En un dominio no conectado las cosas son un poco diferentes. Supongamos que tenemos dos discos abiertos disjuntos en el plano y definimos una función $f$ para ser $1$ en un disco y $2$ por el otro. Esta función es analítica. Sin embargo, se trata de una especie de situación artificial.
Por lo tanto, yo tendería a pensar que la propiedad es "global".
