Obtención de la temperatura a partir de la distribución de Bose-Einstein y Fermi-Dirac

Question

Digamos que se da una función de distribución $f(p)$ y quieres definir una temperatura, $T_f$ para esta distribución. (Asumo que $\mu = 0$ .)

Entonces es natural definir una temperatura de la siguiente manera: \begin{equation} T_f \equiv \frac{ \int d^3p \ G(p) f(p)}{\int d^3p \ f(p)}, \end{equation} donde $G(p)$ se define mediante la siguiente ecuación \begin{equation} T = \frac{ \int d^3p \ G(p) f_{eq}(p,T)}{\int d^3p \ f_{eq}(p,T)}, \end{equation} donde $f_{eq}(p,T)$ es la función de distribución térmica de equilibrio.

Sé que si $f_{eq}$ viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann, entonces $$G_{MB}(p) = \frac{p^2}{3E},$$ donde $E = \sqrt{p^2 + m^2}$ .

Lo que necesito es encontrar una expresión para $G(p)$ si $f_{eq}$ es la distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac $$ f_{eq} = \frac{1}{e^{E(p)/T} \pm 1}.$$

No necesito una expresión analítica para $G(p)$ Una integral que pueda resolver numéricamente es suficiente. Me parece que esto debería ser posible de hacer, pero no se me ocurre cómo.

Answer 1

Creo que tal función sólo puede existir en el límite de Maxwell-Boltzmann. He aquí la razón:

Para simplificar, vamos a parametrizar todo en términos de $\beta = 1/T$ y denota $Z(\beta) = \int{d^3p\; f_{eq}(p, \beta)}$ . Reescriba este último como $$ Z(\beta) = 4\pi \int_0^\infty{dp\;\frac{p^2}{e^{\beta E_p}\pm 1}} = 4\pi \int_m^\infty{dE\;\frac{E\sqrt{E^2-m^2}}{e^{\beta E}\pm 1}} = \\ =\frac{4\pi}{3} \int_m^\infty{dE\;\left[\frac{d}{dE}(E^2-m^2)^{3/2}\right]\frac{1}{e^{\beta E}\pm 1}} $$ y al integrar por partes, $$ Z(\beta) = \beta \frac{4\pi}{3} \int_m^\infty{dE\; (E^2-m^2)^{3/2} \frac{e^{\beta E}}{\left(e^{\beta E}\pm 1\right)^2}} $$ Ahora, para un determinado $E$ dejar $e^{\beta E}/\left(e^{\beta E}\pm 1\right)^2$ sea la transformada de Laplace de $\Lambda_\pm(\epsilon; E)$ , de tal manera que $$ \frac{e^{\beta E}}{\left(e^{\beta E}\pm 1\right)^2} = \int_0^\infty{d\epsilon \; \Lambda_\pm(\epsilon; E)e^{-\beta \epsilon}} $$ (Sé que la redacción es incómoda, pero estoy tratando de evitar problemas de integración de planos complejos con la transformada inversa de Laplace). Si $\Lambda_\pm(\epsilon; E)$ existe, sustituir en $Z(\beta)$ , reordenar, y obtener $$ \frac{Z(\beta)}{4\pi\beta} = \frac{1}{3}\int_0^\infty{d\epsilon \; \left[ \int_m^\infty{dE\; (E^2-m^2)^{3/2}\Lambda_\pm(\epsilon; E) }\right]e^{-\beta \epsilon}} $$ Básicamente, esto nos da una expresión para la transformada de Laplace de $Z(\beta)/(4\pi\beta)$ . Teniendo esto en cuenta, busquemos una función $G(p )$ tal que $$ \frac{1}{\beta} = \frac{1}{Z(\beta)} \int{d^3p\;G(p )f_{eq}(p,\beta)} $$ o $$ \frac{Z(\beta)}{\beta} = \int{d^3p\;G(p )f_{eq}(p,\beta)} = 4\pi\int_0^\infty{dp\; \frac{p^2G(p )}{e^{\beta E_p}\pm 1} } = 4\pi\int_m^\infty{dE\; \frac{{\bar G}(E )E \sqrt{E^2 - m^2}}{e^{\beta E}\pm 1} } $$ donde ${\bar G}(E) = G(p )$ . Como antes, dejemos $1/\left(e^{\beta E}\pm 1\right)$ sea la transformada de Laplace de $\Lambda^0_\pm(\epsilon; E)$ , de tal manera que $$ \frac{1}{e^{\beta E}\pm 1} = \int_0^\infty{d\epsilon \; \Lambda^0_\pm(\epsilon; E)e^{-\beta \epsilon}} $$ y obtener $$ \frac{Z(\beta)}{4\pi\beta} = \int_0^\infty{d\epsilon \; \left[ \int_m^\infty{dE\; E(E^2-m^2)^{1/2}{\bar G}(E)\Lambda^0_\pm(\epsilon; E) }\right]e^{-\beta \epsilon}} $$ Esta es otra expresión para la transformada de Laplace de $Z(\beta)/(4\pi\beta)$ . Identificando con la obtenida anteriormente da $$ \int_m^\infty{dE\; E(E^2-m^2)^{1/2}{\bar G}(E)\Lambda^0_\pm(\epsilon; E) } = \frac{1}{3} \int_m^\infty{dE\; (E^2-m^2)^{3/2}\Lambda_\pm(\epsilon; E) } $$ o $$ \int_m^\infty{dE\; (E^2-m^2)^{1/2} \left[ E \;{\bar G}(E)\Lambda^0_\pm(\epsilon; E) - \frac{1}{3} (E^2-m^2) \Lambda_\pm(\epsilon; E) \right]} = 0 $$ Pero ${\bar G}(E)$ tiene que satisfacer esta identidad para todos los $\epsilon \ge 0$ . Esto implica efectivamente que $\Lambda_\pm(\epsilon; E) = \chi(E) \Lambda^0_\pm(\epsilon; E)$ para algún tipo de $\chi(E)$ y a su vez significa $$ \frac{e^{\beta E}}{\left(e^{\beta E}\pm 1\right)^2} = \chi(E) \frac{1}{e^{\beta E}\pm 1}\;\;\; \Rightarrow \;\;\; \chi(E) = \frac{e^{\beta E}}{e^{\beta E}\pm 1} $$ Dado que la lhs anterior es siempre independiente de la temperatura mientras que la rhs sólo lo es en el límite de baja temperatura, parece que una función adecuada ${\bar G}(E)$ sólo puede existir en el mismo límite, cuando $\Lambda_\pm(\epsilon; E) \rightarrow \Lambda^0_\pm(\epsilon; E)$ y $$ {\bar G}(E) = \frac{E^2 - m^2}{3E} = \frac{p^2}{3E} $$ como ya sabes.