Dimensión mínima del grupo de Lie actuando transitivamente de una variedad

Question

Supongo que la menor dimensión posible de un grupo de mentiras$G$ que funciona sin problemas y de forma transitoria en una variedad compacta$M$ es$\operatorname{dim}(M)$.

¿Es correcto y hay una referencia?

Answer 1

Esto se deduce del teorema de Sard. Si$G \times M \to M$ es suave, en particular$G \times \{pt\} \to M$ es suave. Si$\operatorname{dim} G < \operatorname{dim} M$, entonces el teorema de Sard implica que la imagen tiene la medida cero, y en particular no es todo de$M$.

La compacidad es inesencial aquí.