En el espacio plano, libre y euclidiano, el camino más corto y el camino de aceleración cero son el mismo camino, que es una línea recta. Sin embargo, en la relatividad general, ¿la trayectoria de aceleración cero es también el camino más corto entre dos puntos? Estoy asumiendo que la caída libre es la aceleración cero.
Respuestas
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En la relatividad general, se trata de un espaciotiempo 4D, por lo que los "puntos" del espaciotiempo son eventos y las medidas sobre las que se pueden hacer afirmaciones independientes de las coordenadas son intervalos en lugar de las distancias.
La regla que se aplica es que el línea mundial con el El más largo posible tiempo adecuado entre dos eventos es una línea del mundo que implica cero aceleración adecuada . Dicha línea del mundo se denomina "geodésica temporal".
Existe un concepto similar para las curvas espaciales. Una "geodésica espacial" es una curva con un estacionario longitud adecuada entre dos eventos con una separación similar a la del espacio. Una geodésica espacial es localmente recta.
Para más información, véase la sección del artículo de Wikipedia "Geodésicas como curvas de intervalo estacionario"
Y sí, la caída libre significa cero aceleración propia.
Dan Kennerly
Puntos
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La longitud mínima del camino en 3D es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las distancias (diferencias de las coordenadas x, y y z), de modo que las distancias más pequeñas significan un camino más corto. En 4D, la longitud del camino es la raíz cuadrada de (la suma de los cuadrados de las distancias más el cuadrado de la ict). El cuadrado de ict es negativo, por lo que un tiempo más largo (reloj más lento) tiende a una longitud de trayectoria 4D más corta. (t es la diferencia de tiempo entre eventos, c la velocidad de la luz e i la raíz cuadrada de -1).
El tiempo transcurre más lentamente en las zonas más bajas de la Tierra, de modo que cuando dejas caer algo, está cayendo por el camino de la 4D donde su reloj se ralentiza más (las cosas tardan cada vez más).
Entonces, ¿cómo es posible que al lanzar una pelota ascendente siga subiendo en altura, donde su reloj se acelerará, no se ralentizará, antes de caer? Porque la aceleración que recibe la pelota al lanzarla retrasa su reloj aún más de lo que ganará a lo largo de toda su trayectoria libre. La trayectoria más corta en 4D es una parábola (o línea recta vertical).
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Relacionado con esto: physics.stackexchange.com/q/24359/2451
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The answer to this question is a bit subtle, and depends on what you mean by "two points". La relatividad general es una teoría del espaciotiempo, y los puntos del espaciotiempo son lugares del espacio <b>en</b> un instante exacto. La geometría del espaciotiempo dice, entonces, que dos eventos caen en tres categorías, estando separados espacialmente si la distancia entre ellos es mayor que cero, separados temporalmente si la distancia entre ellos es menor que cero, y separados nulamente si es cero. Volveré a escribir una respuesta adecuada a esto más adelante, pero hay que considerar cada uno de estos casos,
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Así como la idea de sentido común de "distancia entre dos puntos", que se convierte en "la distancia entre dos curvas temporales a través del espaciotiempo"