Determinar y probar el supremum y el infimum del dado sistema.

Question

Que $ A\subset\mathbb{R} $ un conjunto acotado, $ \mathbb{N} = {0,1,2,...} $ y $$ B:= \left{\frac{n}{n+1} - a \mid a \in A, n \in \mathbb{N}\right}$ $ dan inf B y sup B en términos de inf A y sup A. También demostrar estas afirmaciones.

Así que pensé que $\sup B = 1 - \inf A.$

Prueba de esto: $\dfrac{n}{n+1}$ está delimitado desde arriba por 1 y $\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n}{n+1}=1.$

% Otro $\forall a\in A: -1+a\geq-1+\inf A$, que $\forall a\in A: 1-a\leq1-\inf A$. Así $\sup B = 1 - inf A$.

$\inf B$, pensé que $\inf B = - \sup A$.

Prueba de esto: $\dfrac{n}{n+1}\geq0$ $\forall n\in\mathbb{N}$. $\forall a\in A:a\leq \sup A$, que $\forall a\in A:-a\geq -\sup A$. Así $\inf B = 1 - \sup A$.

Puede alguien decirme cómo formalmente correcto esta prueba es y lo que debo mejorar en esta prueba.

Answer 1

La prueba se ve correcto, pero podría mostrar el paso intermedio como esta:

Que $C=\left{\frac{n}{n+1} \;\Big\vert\; n\in\mathbb{N}\right}$ para $$B = \left{c-a \mid c \in C, a \in A\right}.$ $ ahora, $$\sup B = \sup C - \inf A = 1 - \inf A, $ $ y $$\inf B = \inf C - \sup A = 0 - \sup A. $ $ aseguran usted demostrar qué $\sup C$ y $\inf C$ son correctamente y usted debe hacer. (En este caso $\inf C=\min C$, así es fácil. $\sup C$ toma un poco de esfuerzo).