(a) Suponer eso . Demostrar eso .

Question

La función beta de Dirichlet se define como para Re(s) > 0

$$\beta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}.$$

Muestran que,

$$2\sum_{s=1}^{\infty}\frac{1-\beta(2s+1)}{2s+1}=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)-2+\frac{\pi}{2}.$$

¿Cualquier sugerencias de donde podemos empezar a probar esta identidad? O cualquier autores amablemente lo probaría.

Answer 1

$$\begin{align} 2\sum{m=1}^\infty\frac{1-\beta(2m+1)}{2m+1}&=2\sum{m=1}^\infty \int0^1 x^{2m}\,dx\sum{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^{2m+1}}\\ &=2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\int0^1\sum{m=1}^\infty\left(\frac{x^2}{(2n+1)^2}\right)^m\,dx \\ &=2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\int0^1 \frac{x^2}{(2n+1)^2-x^2}\,dx \\ &=2\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\left((2n+1)\frac12\log\left(\frac{n+1}{n}\right)-1\right)\\ &=\sum{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\log\left(\frac{n+1}{n}\right)-2\sum{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\\ &=\log\left(\frac21\cdot \frac23\cdot \frac43\cdot \frac45\cdots\right)+\frac{\pi}{2}-2\\ &=\log\left(\prod_{n=1}^\infty \frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}\right)+\frac{\pi}{2}-2\\ &=\log\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2}-2 \end {Alinee el} $$

¡como era de mostrarse!

En el desarrollo, utilizamos la serie para la función tangente para evaluar $\tan(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)}=\frac{\pi}{4}$ junto con el Producto de Wallis para $\pi$$\prod_{n=1}^\infty \frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}=\frac{\pi}{2}$.