¿Por qué el cuadrado de todas las probabilidades es menor que un primo impar $p$ congruente con $(-1)^{(p+1)/(2)}\pmod p$ ?

Question

Me encontré con las dos congruencias que para $p$ un primo impar,

$$1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots (p-2)^2\equiv (-1)^{(p+1)/(2)}\pmod p$$

y

$$2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots (p-1)^2\equiv (-1)^{(p+1)/(2)}\pmod p$$

¿Cuál es la razón de esto? Me parece que está estrechamente relacionado con el Teorema de Wilson, y posiblemente con el pequeño teorema de Fermat, ya que $p-1=2k$ para algunos $k$ y luego $j^{2k}\equiv 1\pmod p$ para todos los pares y los impares $j$ menos de $p$ pero no fui capaz de completar esta línea de pensamiento.

Answer 1

Módulo $p$ , usted tiene $k=-(p-k)$ por lo que ambos productos son iguales a $(p-1)!(-1)^{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p+1)/2} \pmod{p}$ por el teorema de Wilson.

Answer 2

Amplío los detalles -

El quid de la cuestión es utilizar $\color{purple}{ p-k\equiv -k \mod p }$ .

$ [ 2 \cdot 4 ... (p - 3) \cdot (p-1)] \cdot \quad \color{purple}{[ 2 \cdot 4 ... (p - 3) \cdot (p-1)]} $ $\equiv [ 2 \cdot 4 ... (p - 3) \cdot (p-1)] \cdot \quad \color{purple}{[ (p-2) \cdot (p-4) ... \cdot (1) \quad \cdot (-1)^\frac{p-1}{2}]} (\mod p) = (p - 1)! \quad \cdot (-1)^\frac{p-1}{2} \equiv -1 \quad \cdot (-1)^\frac{p-1}{2} \quad (mod p)$

La última línea es por razón del Teorema de Wilson.